Przypuszczenie Markusa-Yamabe

W matematyce hipoteza Markusa-Yamabe jest hipotezą dotyczącą globalnej stabilności asymptotycznej . Jeśli macierz Jakobianu układu dynamicznego w punkcie stałym to Hurwitz , to punkt stały jest asymptotycznie stabilny. Hipoteza Markusa-Yamabe pyta, czy podobny wynik zachodzi na całym świecie . Dokładniej, przypuszczenie stwierdza, że ​​​​jeśli różniczkowalna w sposób ciągły w -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej ma ${\ displaystyle n}$ punkt stały , a jego jakobianowa macierz jest wszędzie Hurwitzem, to punkt stały jest globalnie stabilny.

Hipoteza jest prawdziwa dla przypadku dwuwymiarowego. Jednak kontrprzykłady zostały skonstruowane w wyższych wymiarach. tylko w przypadku dwuwymiarowym można go również nazwać twierdzeniem Markusa – Yamabe .

Powiązane wyniki matematyczne dotyczące globalnej stabilności asymptotycznej, które mają zastosowanie w wymiarach większych niż dwa, obejmują różne autonomiczne twierdzenia o zbieżności . Analogia hipotezy dla nieliniowego układu sterowania ze skalarną nieliniowością jest znana jako hipoteza Kalmana .

Matematyczne stwierdzenie przypuszczenia

Niech ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ będzie ${\ Displaystyle f (0) = 0}$ z ${\ Displaystyle C ^ {1}}$ i Jakobian ${\ Displaystyle Df (x)}$ , który jest stabilny Hurwitza dla każdego ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n.}}$ .

wtedy $0$ jest globalnym atraktorem układu dynamicznego ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x)}$ .

Przypuszczenie jest prawdziwe dla ${\ displaystyle n = 2}$ i ogólnie fałszywe dla ${\ displaystyle n> 2}$ .

• L. Markus i H. Yamabe, „ Globalne kryteria stabilności dla systemów różnicowych ”, Osaka Math J. 12 : 305–317 (1960)
• Gary Meisters, Biografia hipotezy Markusa-Yamabe (1996)
• C. Gutierrez, „Rozwiązanie dwuwymiarowej hipotezy globalnej asymptotycznej stabilności”, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 12 : 627–671 (1995).
• R. Feßler, „Dowód dwuwymiarowej hipotezy stabilności Markusa-Yamabe i uogólnienia”, Ann. Polon. Matematyka 62 : 45–74 (1995)
• A. Cima i in., „Wielomianowy kontrprzykład do hipotezy Markusa-Yamabe”, Advances in Mathematics 131 (2): 453–457 (1997)
• Josep Bernat i Jaume Llibre, „Kontrprzykład do hipotez Kalmana i Markusa-Yamabe w wymiarze większym niż 3”, Dynam. Kontyn. Dyskretny impuls. Systemy 2 (3):337–379, (1996)
• Bragin VO, Vagaitsev VI, Kuznetsov NV, Leonov GA, „Algorytmy znajdowania ukrytych oscylacji w układach nieliniowych. Przypuszczenia Aizermana i Kalmana oraz obwody Chua” , Journal of Computer and Systems Sciences International 50 (5): 511 –543, (2011) ( doi: 10.1134/S106423071104006X )
• Leonow GA, Kuzniecow NV, „Ukryte atraktory w układach dynamicznych. Od ukrytych oscylacji w problemach Hilberta-Kolmogorowa, Aizermana i Kalmana do ukrytych atraktorów chaotycznych w obwodach Chua” , International Journal of Bifurcation and Chaos 23 (1): art. NIE. 1330002, (2013) ( doi: 10.1142/S0218127413300024 )