Punkt Steinera (trójkąt)

W przypadku innych zastosowań zobacz punkt Steinera .

W geometrii trójkąta punkt Steinera jest szczególnym punktem związanym z trójkątem . Jest to środek trójkąta i jest oznaczony jako środek X(99) w Encyklopedii centrów trójkątów Clarka Kimberlinga . Jakob Steiner (1796–1863), szwajcarski matematyk, opisał ten punkt w 1826 r. Imię Steinera nadał mu Joseph Neuberg w 1886 r.

Definicja

Budowa punktu Steinera.

  Trójkąt ABC

  Trójkąt A'B'C' ( trójkąt Brocarda ABC )

   Okrąg opisany na trójkącie ABC o środku w punkcie O

   Koło Brocarda trójkąta ABC

Linie zbiegające się w punkcie Steinera:

   LA _A : linia przechodząca przez równoległa do B'C'

   L _B : linia przechodząca przez B równoległa do C'A'

   L _C : linia przechodząca przez C równoległa do A'B'

Punkt Steinera jest zdefiniowany w następujący sposób. (Nie jest to sposób, w jaki zdefiniował to Steiner.)

Niech ABC będzie dowolnym danym trójkątem. Niech O będzie środkiem okręgu opisanego , a K będzie środkiem symediany trójkąta ABC . Okrąg o średnicy OK jest kołem Brocarda trójkąta ABC . Prosta przechodząca przez O prostopadła do prostej BC przecina okrąg Brocarda w innym punkcie A' . Linia przechodząca przez O prostopadła do prostej CA przecina okrąg Brocarda w innym punkcie B' . Prosta przechodząca przez O prostopadła do prostej AB przecina okrąg Brocarda w innym punkcie C' . (Trójkąt A'B'C' jest trójkątem Brocarda trójkąta ABC .) Niech L _A będzie linią przechodzącą przez A równoległą do prostej B'C' , L _B będzie linią przechodzącą przez B , równoległą do prostej C'A' i LC _C będą linią przechodzącą przez , równoległą do prostej A'B' . Wtedy trzy proste LA _C , L _B i L _{współbieżne} są . Punktem współbieżności jest punkt Steinera trójkąta ABC .

W Encyklopedii centrów trójkątów punkt Steinera jest zdefiniowany w następujący sposób;

Alternatywna konstrukcja punktu Steinera

Niech ABC będzie dowolnym danym trójkątem. Niech O będzie środkiem okręgu opisanego , a K będzie środkiem symediany trójkąta ABC . Niech l _A będzie odbiciem prostej OK na prostej BC , l _B będzie odbiciem prostej OK na prostej CA , a l _C będzie odbiciem prostej OK na prostej AB . Niech linie l _B i l _C przecinają się w A″ , proste l _C i l _A przecinają się w B″ , a proste l _A i l _B przecinają się w C″ . Wtedy proste AA″ , BB″ i CC″ są zbieżne. Punktem współbieżności jest punkt Steinera trójkąta ABC .

Współrzędne trójliniowe

Trójliniowe współrzędne punktu Steinera podano poniżej.

${\ Displaystyle bc / (b ^ {2} -c ^ {2}) :ca/(c^{2}-a^{2}):ab/(a^{2}-b^{2})}$

${\ Displaystyle = b ^ {2} c ^ {2} \ csc (bC): c ^ {2} a ^ {2 }\csc(ca):a^{2}b^{2}\csc(ab)}$

Nieruchomości

1. Elipsa otaczająca trójkąt ABC Steinera , zwana także elipsą Steinera, jest elipsą o najmniejszym polu przechodzącą przez wierzchołki A , B i C. Punkt Steinera trójkąta ABC leży na elipsie otaczającej Steinera trójkąta ABC .
2. Kanadyjski matematyk Ross Honsberger określił następującą właściwość punktu Steinera: Punkt Steinera trójkąta jest środkiem masy układu otrzymanym przez zawieszenie w każdym wierzchołku masy równej wartości kąta zewnętrznego w tym wierzchołku. Środek masy takiego układu nie jest w rzeczywistości punktem Steinera, ale środkiem ciężkości krzywizny Steinera , który ma współrzędne trójliniowe ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ pi -A} {a}}: {\ Frac {\ pi -B} {b}}: {\ Frac {\ pi -C} {c}} \ prawo)}$ . Jest to środek trójkąta oznaczony jako X(1115) w Encyklopedii Centrów Trójkątów .
3. Linia Simsona punktu Steinera trójkąta ABC jest równoległa do prostej OK , gdzie O jest środkiem okręgu opisanego, a K jest środkiem symmmediany trójkąta ABC .

Punkt smołowy

Linia przechodząca przez A prostopadła do B'C' , prosta przechodząca przez B prostopadła do C'A' i prosta przechodząca przez C prostopadła do A'B' zbiegają się w punkcie Tarry'ego.

Punkt Tarry'ego trójkąta jest ściśle powiązany z punktem Steinera trójkąta. Niech ABC będzie dowolnym danym trójkątem. Punkt leżący na okręgu opisanym na trójkącie ABC , leżący po przekątnej naprzeciw punktu Steinera na trójkącie ABC , nazywa się punktem Tarry'ego na trójkącie ABC . Punkt Tarry'ego jest środkiem trójkąta i jest oznaczony jako środek X(98) w Encyklopedii Centrów Trójkątów . Trójliniowe współrzędne punktu Tarry'ego podano poniżej:

${\ Displaystyle \ sec (A+ \ omega): \ sec (B + \ omega): \ sec (C + \ omega) = f (a, b, c): f (b, c, a): f (c, a , b)}$

gdzie ω jest kątem Brocarda trójkąta ABC

i ${\ Displaystyle f (a, b, c )={\frac {bc}{b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}}}}$

Podobnie jak w przypadku definicji punktu Steinera, punkt Tarry'ego można zdefiniować w następujący sposób:

Niech ABC będzie dowolnym danym trójkątem. Niech A'B'C' będzie trójkątem Brocarda trójkąta ABC . Niech L _A będzie linią przechodzącą przez A prostopadłą do prostej B'C' LC _, L B _będzie linią przechodzącą przez B prostopadłą do prostej C'A' i będzie linią przechodzącą przez C prostopadłą do prostej A'B' . Następnie trzy linie L _A , L _B i L _C są współbieżne . Punktem współbieżności jest punkt Tarry'ego trójkąta ABC .