Równanie Batemana

W fizyce jądrowej równanie Batemana jest modelem matematycznym opisującym obfitość i aktywność w łańcuchu rozpadu w funkcji czasu, w oparciu o tempo rozpadu i początkowe obfitości. Model został sformułowany przez Ernesta Rutherforda w 1905 roku, a rozwiązanie analityczne dostarczył Harry Bateman w 1910 roku.

Jeśli w czasie t istnieją atomy izotopu , które rozpadają $+1}$ na izotop ${\ displaystyle i$ z szybkością $) { \ Displaystyle N_$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$ , ilości izotopów w k -etapowym łańcuchu rozpadu ewoluują jako:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {dN_ {1} (t)} {dt}} i = - \ lambda _ {1} N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i -1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}( t)\koniec {wyrównane}}}$

(można to dostosować do obsługi rozkładających się gałęzi). Chociaż można to rozwiązać jawnie dla i = 2, formuły szybko stają się kłopotliwe w przypadku dłuższych łańcuchów. Równanie Batemana jest klasycznym równaniem głównym , w którym dozwolone są szybkości przejścia tylko z jednego gatunku (i) do drugiego (i+1), ale nigdy w odwrotnym kierunku (i+1 do i jest zabronione).

Bateman znalazł ogólny wyraźny wzór na kwoty, przyjmując transformatę Laplace'a zmiennych.

${ \displaystyle N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _ {i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\ lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}}$

(można go również rozszerzyć o terminy źródłowe, jeśli więcej atomów izotopu i jest dostarczanych z zewnątrz ze stałą szybkością).

Obliczanie ilości za pomocą funkcji Batemana dla 241Pu

$. Dlatego$ w kodzie komputerowym, jeśli dla pary izotopów błędów obliczeniowych w użyciu są również inne metody, takie jak całkowanie numeryczne lub wykładnicza metoda macierzowa .

Na przykład w prostym przypadku łańcucha trzech izotopów odpowiednie równanie Batemana sprowadza się do

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i A \ {\ xrightarrow { \lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{ \lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t} \right)\end{wyrównane}}}$

Co daje następujący wzór na aktywność izotopu $ZA$ poprzez podstawienie) $\ Displaystyle A = \ lambda N$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A_ {B} = {\ Frac {\ lambda _ {B}} {\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t }\right)\end{wyrównane}}}$

Zobacz też

• Harry'ego Batemana
• Lista równań w fizyce jądrowej i cząstek elementarnych
• Równowaga przejściowa
• Świecka równowaga
• Farmakokinetyka , luźne zastosowanie