Równanie Brethertona

W matematyce równanie Brethertona jest nieliniowym równaniem różniczkowym cząstkowym wprowadzonym przez Francisa Brethertona w 1964 roku:

${\ Displaystyle u_ {tt} + u_ {xx} + u_ {xxxx} + u = u ^ {p},}$

z liczbą całkowitą i $p \ geq 2.}$$\ Displaystyle$ Podczas gdy ${\ Displaystyle u_ {t}, u_ {x}}$ u $\ Displaystyle u_ { xx}}$ oznaczają pochodne cząstkowe ciała skalarnego ${\ Displaystyle u (x, t).}$

Oryginalne równanie badane przez Brethertona ma $Lagrange'a$ nieliniowość , Nayfeh przypadek dwiema $metodą$ : Whithama i metodą łuski .

Równanie Brethertona jest równaniem modelowym do badania słabo nieliniowej dyspersji fal . Został wykorzystany do badania interakcji harmonicznych za pomocą rezonansu nieliniowego . Bretherton uzyskał analityczne rozwiązania w zakresie funkcji eliptycznych Jacobiego .

Formuły wariacyjne

Równanie Brethertona wywodzi się z gęstości Lagrange'a :

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ={\tfrac {1}{2}}\left(u_{t}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left(u_{x}\right)^{2} -{\tfrac {1}{2}}\left(u_{xx}\right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}u^{2}+{\tfrac {1}{p +1}}u^{p+1}}$

za pomocą równania Eulera – Lagrange'a :

${\ Displaystyle {\ Frac { \partial }{\częściowe t}}\left({\frac {\częściowe {\mathcal {L}}}{\częściowe u_{t}}}\right)+{\frac {\częściowe }{\częściowe x }}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy u_{x}}}\right)-{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy x^{2 }}}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy u_{xx}}}\right)-{\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy u}}=0.}$

Równanie można również sformułować jako układ hamiltonowski :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u_ {t} i - {\ Frac {\ delta {H}} {\ delta v}} = 0,\\v_{t}&+{\frac {\delta {H}}{\delta u}}=0,\end{wyrównane}}}$

pod względem pochodnych funkcjonalnych obejmujących hamiltonian ${\ displaystyle H:}$

   ${\ Displaystyle H (u, v) = \ int {\ mathcal {H}} (u, v; x, t) \; \mathrm {d} x}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (u, v; x, t) = {\ tfrac {1} {2}} v ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} \left(u_{x}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left(u_{xx}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}} u^{2}-{\tfrac {1}{p+1}}u^{p+1}}$

z $gęstością$ Hamiltona - w ${t}.}$$jest$ Hamiltonian całkowitą energią układu i jest zachowany w czasie.

Notatki

•   Bretherton, FP (1964), „Rezonansowe interakcje między falami. Przypadek dyskretnych oscylacji”, Journal of Fluid Mechanics , 20 (3): 457–479, Bibcode : 1964JFM....20..457B , doi : 10.1017/ S0022112064001355 , S2CID 123193107
•   Drazin, PG ; Reid, WH (2004), stabilność hydrodynamiczna (wyd. 2), Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511616938 , ISBN 0-521-52541-1
• Kudryashov, NA (1991), „O typach nieliniowych równań niecałkowalnych z dokładnymi rozwiązaniami”, Physics Letters A , 155 (4–5): 269–275, Bibcode : 1991PhLA..155..269K , doi : 10.1016/0375- 9601(91)90481-M
•   Nayfeh, AH (2004), metody perturbacji , Wiley – VCH Verlag, ISBN 0-471-39917-5