Równanie Carlemana

W matematyce równanie Carlemana jest równaniem całkowym Fredholma pierwszego rodzaju z jądrem logarytmicznym. Jego rozwiązanie zostało po raz pierwszy podane przez Torstena Carlemana w 1922 r. Równanie to

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ ln | xt | \, y (t) \, dt = f (x)}$

Rozwiązaniem dla b − a ≠ 4 jest

$\ Displaystyle y (x) = {\ Frac {1} {\ pi ^ {2} {\ sqrt {(xa)(bx)}}}}\left[\int _{a}^{b}{\frac {{\sqrt {(ta)(bt)}}f'_{t}(t)\ ,dt}{tx}}+{\frac {1}{\ln \left[{\frac {1}{4}}(ba)\right]}}\int _{a}^{b}{\ frac {f(t)\,dt}{\sqrt {(ta)(bt)}}}\right]}$

Jeżeli b − a = 4 to równanie jest rozwiązywalne tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ Frac {f (t) \ dt} {\ sqrt {( ta)(bt)}}}=0}$

W tym przypadku rozwiązanie ma postać

${\ Displaystyle y (x)={\frac {1}{\pi ^{2}{\sqrt {(xa)(bx)}}}}\left[\int _{a}^{b}{\frac {{\ sqrt {(ta)(bt)}}f'_{t}(t)\,dt}{tx}}+C\right]}$

gdzie C jest dowolną stałą.

Dla szczególnego przypadku f ( t ) = 1 (w którym to przypadku konieczne jest, aby b − a ≠ 4), przydatnego w niektórych zastosowaniach, otrzymujemy

${\ Displaystyle y (x) = {\ Frac {1} {\ pi \ ln \ lewo [{\frac {1}{4}}(ba)\right]}}{\frac {1}{\sqrt {(xa)(bx)}}}}$

• CARLEMAN, T. (1922) Uber die Abelsche Integralgleichung mit konstanten Integrationsgrenzen. Matematyka Z., 15, 111–120
• Gakhov, FD, Boundary Value Problems [po rosyjsku], Nauka, Moskwa, 1977
•   AD Polyanin i AV Manzhirov, Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4