Równanie Hessego

W matematyce równania k -Hessian (lub w skrócie równania Hessian ) to równania różniczkowe cząstkowe (PDE) oparte na macierzy Hessian . Mówiąc dokładniej, równanie Hessego jest k , czyli k -tym elementarnym wielomianem symetrycznym wartości własnych macierzy Hessego. Gdy k ≥ 2, równanie k -Hessowskie jest w pełni nieliniowym równaniem różniczkowym cząstkowym. Można to zapisać jako ${\ Displaystyle {\ cal {S}} _ {k} [u] = f}$ , gdzie ${\ Displaystyle 1 \ leqslant k \ leqslant n}$ , ${\ Displaystyle {\ cal {S}} _ {k} [u] = \ sigma _ {k} (\ lambda ({\ cal {D}} ^ {2} u)}}$ , i $) = (\ lambda _ {1}, \ cdots, \ lambda _ {n})} , są wartościami$ własnymi hesji macierz ${\ Displaystyle {\ cal {D}} ^ {2} u = [\ częściowe _ {i} \ częściowe _ {j} u] _{1\równik i,j\równik n}}$ i ${\ Displaystyle \ sigma _ {k} (\ lambda) = \ suma _ {i_ {1}<\ cdots <i_ {k}} \ lambda _ {i_ {1}} \cdots \ lambda _ {i_ {k}}}$ jest elementarnym wielomianem symetrycznym ${\ displaystyle k} .$

Podobnie jak równania różniczkowe często badają działania operatorów różniczkowych (np. operatory eliptyczne i równania eliptyczne ), równania Hessego można rozumieć jako proste równania wartości własnych, na których działa operator różniczkowy Hessego. Przypadki szczególne obejmują równanie Monge-Ampère'a i równanie Poissona ( Laplacian jest śladem macierzy Hesji). Operator 2− hessian pojawia się również w problemach z mapowaniem konforemnym. W rzeczywistości 2− równanie hessowskie jest nieznane poza geometrią riemannowską i eliptyczną teorią regularności, która jest ściśle związana z operatorem skalarnej krzywizny, który zapewnia wewnętrzną krzywiznę trójwymiarowej rozmaitości.

Te równania są interesujące w geometrycznych PDE (poddziedzinie na styku analizy geometrycznej i PDE) i geometrii różniczkowej .

Dalsza lektura

• Caffarelli L.; Nirenberg, L.; Spruck, J. (1985), „Problem Dirichleta dla nieliniowych równań eliptycznych drugiego rzędu, III: Funkcje wartości własnych Hessian” ( PDF) , Acta Mathematica , 155 (1): 261–301, doi : 10.1007 / BF02392544 .