Równanie Liénarda

W matematyce , a dokładniej w badaniu układów dynamicznych i równań różniczkowych , równanie Liénarda jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, nazwanym na cześć francuskiego fizyka Alfreda-Marie Liénarda .

Podczas rozwoju technologii radiowej i lampowej równania Liénarda były intensywnie badane, ponieważ można je wykorzystać do modelowania obwodów oscylacyjnych . Przy pewnych dodatkowych założeniach twierdzenie Liénarda gwarantuje jednoznaczność i istnienie cyklu granicznego dla takiego układu. System Liénarda z funkcjami odcinkowo-liniowymi może również zawierać orbity homokliniczne .

Definicja

Niech f i g będą dwiema funkcjami różniczkowalnymi w sposób ciągły na R , gdzie g jest funkcją nieparzystą , a f funkcją parzystą . Następnie równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu postaci

{\ Displaystyle {d ^ {2} x \ ponad dt ^ {2}} + f (x) {dx \ ponad dt} +g(x)=0}

nazywa się równaniem Liénarda .

układ Liénarda

Równanie można przekształcić w równoważny dwuwymiarowy układ równań różniczkowych zwyczajnych . definiujemy

{\ Displaystyle F (x): = \ int _ {0} ^ {x} f (\ xi) d \ xi}

{\ Displaystyle x_ {1}: = x}

{\ Displaystyle x_ {2}: = {dx \ nad dt} + F (x)}

Następnie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} {\ kropka {x} }_{1}\\{\kropka {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_ {2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\koniec{bmacierz}}}

nazywamy układem Liénarda .

Alternatywnie, ponieważ samo równanie Liénarda jest również autonomicznym równaniem różniczkowym , podstawienie prowadzi równanie Liénarda do równania różniczkowego pierwszego rzędu : ${\ displaystyle v = {dx \ over dt}}$

{\ Displaystyle v {dv \ nad dx} + f (x) v + g (x) = 0}

które należy do równania Abela drugiego rodzaju.

Przykład

Oscylator Van der Pol

{\ Displaystyle {d ^ {2} x \ ponad dt ^ {2}} - \ mu (1-x ^ {2} ){dx \ponad dt}+x=0}

jest równaniem Liénarda. Rozwiązanie oscylatora Van der Pol ma cykl graniczny. Taki cykl ma rozwiązanie równania Liénarda z ujemnym w małym punkcie ${\ Displaystyle f (x)$ ${\ Displaystyle | x |}$ i dodatnie w przeciwnym razie ${\ Displaystyle f (x)}$ . Równanie Van der Pol nie ma dokładnego, analitycznego rozwiązania. $funkcją$ dla cyklu granicznego istnieje, jeśli .

Twierdzenie Liénarda

System Liénarda ma unikalny i stabilny cykl graniczny otaczający początek, jeśli spełnia następujące dodatkowe właściwości:

g ( x ) > 0 dla wszystkich x > 0;
${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty} F (x): = \ lim _ {x \ do \ infty} \ int _ {0} ^ {x} f (\ xi) d \ xi \ = \ piętnaście ;}$
F ( x ) ma dokładnie jeden dodatni pierwiastek przy pewnej wartości p , gdzie F ( x ) < 0 dla 0 < x < p i F ( x ) > 0 i monotoniczny dla x > p .

Zobacz też

przypisy

Linki zewnętrzne

„Równanie Liénarda” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
LienardSystem w PlanetMath .