Równanie Liouville’a – Bratu – Gelfanda

Aby zapoznać się z równaniem Liouville'a w geometrii różniczkowej, zobacz równanie Liouville'a .

W matematyce równanie Liouville'a-Bratu-Gelfanda lub równanie Liouville'a jest nieliniowym równaniem Poissona , nazwanym na cześć matematyków Josepha Liouville'a , G. Bratu i Israela Gelfanda . Równanie brzmi

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + \ lambda e ^ {\ psi} = 0}$

Równanie pojawia się w ucieczce termicznej jako teoria Franka-Kamenetskiego , astrofizyka na przykład, równanie Emdena-Chandrasekhara . To równanie opisuje również przestrzenny ładunek elektryczności wokół świecącego drutu i opisuje mgławicę planetarną .

Rozwiązanie Liouville'a

W dwóch wymiarach ze współrzędnymi kartezjańskimi Joseph Liouville zaproponował rozwiązanie w 1853 roku jako ${\ Displaystyle (x, y)$ }

${\ Displaystyle \ lambda e ^ {\ psi} (u ^ {2} + v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\częściowe u}{\częściowe x}}\right)^{2}+\left({\frac {\ częściowe u}{\częściowe y}}\right)^{2}\right]}$

gdzie ${\ Displaystyle f (z) = u + iv}$ jest dowolną funkcją analityczną z ${\ Displaystyle z = x + iy}$ . W 1915 roku GW Walker znalazł rozwiązanie, przyjmując postać dla ${\ displaystyle f (z)}$ . r ${\ Displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}$ , to rozwiązaniem Walkera jest

${\ Displaystyle 8e ^ {- \ psi} = \ lambda \ lewo [\ lewo ({\ Frac {r}}} \ prawo)^{n}+\lewo({\frac {a}{r}}\prawo)^{n}\prawo]^{2}}$

gdzie jest $skończonym$ promieniem. To rozwiązanie rozpada się w nieskończoności dla dowolnego $=$ ale staje się nieskończone u początku dla , staje się skończone u początku dla $1}$ i staje się ${\ displaystyle n = 1}$ zero na początku dla ${\ displaystyle n> 1}$ . Walker zaproponował również dwa inne rozwiązania w swoim artykule z 1915 roku.

Formy promieniście symetryczne

Jeśli system, który ma być badany, jest promieniowo symetryczny, wówczas równanie w $wymiarze$ się

${\ Displaystyle \ psi '' + {\ Frac {n-1} {r}} \ psi '+ \ lambda e ^ {\ psi} = 0}$

gdzie jest odległością od $.$ Z warunkami brzegowymi

${\ Displaystyle \ psi '(0) = 0, \ quad \ psi (1) = 0}$

i dla ${\ Displaystyle \ lambda \ geq 0}$ prawdziwe rozwiązanie istnieje tylko dla , gdzie $c}]}$ { ${ \displaystyle \lambda _{c}}$ to parametr krytyczny zwany parametrem Franka-Kameneckiego . Parametrem krytycznym jest ${\ Displaystyle \ lambda _ {c} = 0,8785}$ dla ${\ Displaystyle n = 1}$ , ${\ Displaystyle \ lambda _ {c} = 2}$ dla ${\ Displaystyle n = 2}$ i ${\ Displaystyle \ lambda _ {c} = 3,32}$ dla ${\ styl wyświetlania n=3}$ . n $\ 2}$ istnieją dwa rozwiązania i dla ${\ Displaystyle 3 \ równoważnik n \ równoważnik 9}$ istnieje nieskończenie wiele rozwiązań z rozwiązaniami oscylującymi wokół punktu ${\ Displaystyle \ lambda = 2 (n-2)}$ . Dla ${\ Displaystyle n \ geq 10}$ rozwiązanie jest unikalne iw takich przypadkach parametr krytyczny jest określony przez ${\ Displaystyle \ lambda _ {c} = 2 (n- 2)}$ . Wielość rozwiązań dla ${\ displaystyle n = 3}$ została odkryta przez Israela Gelfanda w 1963 r., a później w 1973 r. uogólniona dla wszystkich $przez$ D. Josepha i Thomasa S. Lundgrena .

Rozwiązanie dla ${\ Displaystyle n = 1}$ , które jest ważne w zakresie, jest podane przez ${\ Displaystyle \ lambda \ w [0,0,8785]}$

${\ Displaystyle \ psi = -2 \ ln \ lewo [e ^ {- \ psi _ {m} /2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda}}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]}$

gdzie ${\ Displaystyle \ psi _ {m} = \ psi (0)}$ jest związane z jak ${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle e ^ {\ psi _ {m}/2} = \ cosh \ lewo ({\ Frac {\ sqrt {\ lambda}} {\ sqrt {2}}} e ^ {- \ psi _ {m} /2}\prawo).}$

Rozwiązanie dla ${\ Displaystyle n = 2}$ , które jest ważne w zakresie, jest podane przez ${\ Displaystyle \ lambda \ w [0,2]}$

${\ Displaystyle \ psi = \ ln \ lewo [{\ Frac {64e ^ {\ psi _ {m}}} {(\ lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]}$

gdzie ${\ Displaystyle \ psi _ {m} = \ psi (0)}$ jest związane z jak ${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle (\ lambda e ^ {\ psi _ {m}} + 8) ^ {2} -64e ^ {\ psi _ {m} }=0.}$