Równoważność egalitarna

Równoważność egalitarna (EE) jest kryterium sprawiedliwego podziału . W podziale ekwiwalentnym egalitarnie istnieje pewien „pakiet referencyjny”, $taki że każdy agent czuje$ że jego / jej udział jest równoważny ${\ displaystyle Z}$ .

Zasada słuszności EE jest zwykle połączona z efektywnością Pareto . PEEEA to alokacja, która jest zarówno efektywna w sensie Pareto , jak i równoważna egalitaryzmowi.

Definicja

Zestaw zasobów jest podzielony między kilku agentów w taki sposób $,$$agent$ pakiet . Każdy agent $jest$ subiektywną $która$ preferencji całkowitym zamówieniem na pakiet. Te relacje preferencji indukują relację równoważności w zwykły sposób: ${\ Displaystyle X \ sim _ {i} Y}$ iff ${\ Displaystyle X \ succeq _ {i} Y \ succeq _ {i}X}$ .

Alokacja nazywana jest ekwiwalentem egalitarnym, jeśli istnieje taki pakiet $displaystyle$ że dla wszystkich: $i}$ { \

${\ Displaystyle X_ {i} \ sim _ {i} Z}$

Alokacja nazywana jest PEEEA , jeśli jest zarówno efektywna w sensie Pareto , jak i równoważna egalitaryzmowi.

Motywacja

Kryterium EE zostało wprowadzone przez Elizeusza Paznera i Davida Schmeidlera w 1978 roku.

Wcześniej głównym kryterium uczciwości w ekonomii był brak zazdrości (EF). WF ma tę zaletę, że jest porządkowym --- można go zdefiniować tylko na podstawie indywidualnych relacji preferencji; nie musi porównywać użyteczności różnych agentów ani zakładać, że funkcje użyteczności agentów są znormalizowane. Jednak EF może być niezgodny z wydajnością Pareto (PE). W szczególności w standardowej gospodarce z produkcją może nie istnieć alokacja, która jest jednocześnie PE i EF.

EE, podobnie jak EF, jest kryterium porządkowym --- można je zdefiniować tylko na podstawie indywidualnych relacji preferencji. Jednak zawsze jest kompatybilny z PE --- PEEEA (przydział PE i EE) zawsze istnieje, nawet w gospodarkach produkcyjnych. Pazner i Schmeidler nieformalnie opisują PEEEA w następujący sposób:

„Rozważmy przypadek, w którym jest dwóch konsumentów i dwa towary (ale zauważmy, że każdy krok w argumencie przenosi się na dowolną liczbę agentów i towarów…). Załóżmy, że każdy konsument otrzymuje dokładnie połowę całkowitych zasobów. Ta egalitarna dystrybucja na ogół nie będzie PE. Rozważmy promień w przestrzeni towarowej, który przechodzi od początku przez wektor zagregowanych zasobów. Egalitarna dystrybucja jest reprezentowana przez każdego człowieka, który otrzymuje ten sam pakiet wzdłuż tego promienia.

Jeśli egalitarna dystrybucja nie jest PE, następnie (przez monotoniczność i ciągłość preferencji) przesunięcie każdego człowieka nieco w górę wzdłuż promienia daje rozkłady użyteczności, które są nadal wykonalne, ponieważ początkowy rozkład użyteczności znajduje się we wnętrzu zbioru możliwości użyteczności. W szczególności, jeśli jednocześnie poruszymy każdego człowieka wzdłuż promienia towaru dokładnie w ten sam sposób, ostatecznie trafimy na rozkład użyteczności leżący na granicy możliwości użyteczności. Oznacza to, że istnieje alokacja efektywna w sensie Pareto, która jest równoważna z punktu widzenia każdego konsumenta hipotetycznej ( niewykonalnej ) rozkład wzdłuż promienia, który dałby każdemu konsumentowi ten sam pakiet (który, będąc ściśle większym niż egalitarny rozkład zagregowanych zasobów, sam w sobie jest niewykonalny). Ta alokacja PE jest zatem równoważna egalitarnej dystrybucji w hipotetycznej (większej niż pierwotna) gospodarce…

Wynikowy zestaw alokacji jest tym, co nazywamy zbiorem alokacji efektywnych w sensie Pareto i alokacji równoważnych egalitarnie (PEEA). Jest to ograniczenie zbioru gospodarki Pareto do tych alokacji, które mają określoną właściwość kapitałową, że ich podstawowy rozkład poziomów użyteczności mógł zostać wygenerowany przez jakąś egalitarną gospodarkę.

Związek z kryterium maximin

W szczególnym przypadku załóżmy, że istnieje skończona liczba jednorodnych podzielnych dóbr. Niech $pakietem$ . Dla każdego $in [0,1]$ będzie ${\ Displaystyle r \$ , w którym ilość każdego dobra jest $razy$ jego ilość w ${\ displaystyle W}$ .

$\ displaystyle V_$ , że relacja preferencji każdego agenta $reprezentowana$ przez funkcję użyteczności , która jest skalibrowana w taki sposób, że: $)$ . Następnie szczególnym przypadkiem alokacji EE jest alokacja, w której dla wszystkich: ${\ displaystyle i$ }

${\ Displaystyle V_ {i} (X_ {i}) = r}$

Innymi słowy, wszyscy agenci mają tę samą skalibrowaną użyteczność. W tym przypadku efektywna w sensie Pareto alokacja EE (PEEEA) pokrywa się z maximin - alokacją, która maksymalizuje minimalną użyteczność.

Zauważ, że zasada maximin zależy od użyteczności numerycznej. Dlatego nie można go używać bezpośrednio z porządkowymi relacjami preferencji. Zasada EE jest zasadą porządkową i sugeruje szczególny sposób kalibracji narzędzi, tak aby można ich było używać z zasadą maximin.

W szczególnym przypadku, w którym $podziałem$ wiązką wszystkich zasobów (zagregowanym wyposażeniem), równorzędny podział jest również nazywany sprawiedliwym .

Herve Moulin opisuje ten szczególny przypadek reguły EE w następujący sposób:

„Rozwiązanie EE wyrównuje między agentami użyteczności mierzone wzdłuż „numeraire” pakietu towarów do podziału. Innymi słowy, to rozwiązanie daje każdemu uczestnikowi alokację, którą uważa za równoważną (z własnymi preferencjami) do tej samej części tortu, gdzie „ciasto” oznacza zasoby do podziału, a udział jest homotetyczną redukcją tortu – jest to ten sam ułamek całkowitej dostępnej ilości każdego towaru”.

Przykład

Poniższy przykład opiera się na.

• Są trzy miasta AB i C.
• Jest droga z A do B i droga z B do C.
• Każda droga może obsłużyć łącznie 100 jednostek ruchu.
• Jest 100 agentów: 40 musi przepuszczać ruch z A do B, 30 z B do C i 30 z A do C.
• Użyteczność każdego agenta jest równa ilości ruchu, który może przepuścić. Tak więc, jeśli agent otrzymuje x jednostek AB i y jednostek BC, jego użyteczność wynosi x (jeśli jest w grupie AB), y (jeśli jest w grupie BC) lub min(x,y) (jeśli jest w grupie AC).

Pytanie brzmi: jak podzielić 100 jednostek przepustowości na każdej drodze między 100 agentów? Oto kilka możliwych rozwiązań.

• $jedną$ dajemy każdemu agentowi pakiet jednostkę każdej drogi (więc jego użyteczność Ten podział jest egalitarny , ale oczywiście nie jest PE, ponieważ agenci AB i BC mogą poprawić swój dobrobyt, handlując swoimi udziałami w drogach, których nie potrzebują.
• $że$ chcemy dać każdemu agentowi użyteczność r , dla Następnie musimy przydzielić $jednostek$$Displaystyle$ 30 . Na każdą drogę możemy przydzielić maksymalnie 100 jednostek; zatem $r \ równoważnik 100/70 = 30/21 \$ . Podział, w którym agenci AB dostają 30/21 jednostek AB, agenci BC 30/21 jednostek BC, a agenci AC 30/21 jednostek obu dróg, jest egalitarnym ekwiwalentem, ponieważ każdy agent jest obojętny na swój udział i stały pakiet ${\ Displaystyle (x = 30/21, y = 30/21)}$ . Jest to również podział sprawiedliwy , ponieważ znormalizowana użyteczność każdego agenta wynosi 30/21. Jednak ten podział nadal nie jest PE: przydziela 100 jednostek AB, ale tylko 600/7 jednostek BC.
• Możemy dokonać powyższego podziału PE przekazując pozostałe jednostki BC agentom BC; poprawia $szkody$ użyteczność innych agentów ${\ Displaystyle (x = 30/21, y =$ udziałem a stałą wiązką . Dlatego też ten podział jest ekwiwalentem egalitarnym. Teraz wszystkie zdolności są przydzielone, a dywizja to PE; dlatego to jest PEEEA. Należy zauważyć, że wynikowa alokacja jest optymalna dla leksyminy - maksymalizuje użyteczność najsłabszych agentów i pod tym względem maksymalizuje użyteczność pozostałych agentów.

Wariant

Rozważmy teraz następujący wariant powyższego przykładu. Użyteczność agentów AB i BC jest taka sama jak powyżej, ale użyteczność agentów AC przy otrzymywaniu x jednostek AB i y jednostek BC wynosi teraz (x+y)/2 . Zauważ, że jest to znormalizowane w taki sposób, że ich użyteczność wynikająca z posiadania jednostki każdego zasobu wynosi 1.

• $że$ chcemy dać każdemu agentowi użyteczność r , dla $=2r}$ musimy przydzielić $30$ jednostek AB i $+ 30y}$ jednostek BC, gdzie ${\ Displaystyle x$ . Ponieważ istnieje 100 jednostek każdego dobra, mamy ${\ Displaystyle r \ równoważnik 200/130 = 60/39 \ około 1,54}$ . Podział, w którym agenci AB otrzymują 60/39 jednostek AB, agenci BC otrzymują 60/39 jednostek BC, a agenci AC otrzymują 50/39 jednostek AB plus 70/39 jednostek BC, to EE, ponieważ każdy agent jest obojętny między jego udziałem a stałym pakietem $y = 60/39)}$ . Jest to również sprawiedliwe, ponieważ użyteczność wszystkich agentów wynosi 60/39. Jest to również PE, stąd jest to PEEEA. Niestety nie jest to EF, ponieważ agenci BC zazdroszczą agentom AC. Co więcej, pakiet agenta AC dominuje w pakiecie agenta BC: dostają więcej z każdego zasobu, co wydaje się dość niesprawiedliwe.
• Zamiast brać pakiet referencyjny z równymi ilościami każdego zasobu (r,r), możemy wziąć pakiet referencyjny z różnymi ilościami (r,s). $x$ musimy przydzielić $30$ i BC $+$ . Ponieważ istnieje 100 jednostek każdego dobra, mamy ${\ Displaystyle 70r + 60s \ równoważnik 200}$ . Połączenie tego z warunkiem braku zazdrości daje ${\ Displaystyle r = 100/70 = 30/21 \ około 1,43, s = 100/60=35/21\około 1,67}$ . Podział, w którym agenci AB otrzymują 30/21 jednostek AB, agenci BC otrzymują 35/21 jednostek BC, a agenci AC otrzymują 30/21 jednostek AB plus 35/21 jednostek BC, to EE, ponieważ każdy agent jest obojętny między jego udziałem a stałym pakietem ${\ Displaystyle (x = 30/21, y = 35/21)}$ . To też PE, więc to PEEEA. To także EF, więc to też PEEFA. Jednak nie jest to sprawiedliwe: względna użyteczność agentów AB wynosi ${\ Displaystyle 30/21 \ około 1,43}$ , agentów BC - ${\ Displaystyle 35/21 \ około 1,67 }$ i agentów AC - ${\ Displaystyle 32,5/21 \ około 1,54}$ .

Podsumowując: w tym przykładzie dzielący, który wierzy w wagę egalitarnej równoważności, musi wybierać między sprawiedliwością a wolnością od zazdrości.

EE i EF

Gdy jest dwóch agentów, zbiór alokacji PEEE zawiera zbiór alokacji PEEF. Zaletą PEEEA jest to, że istnieją nawet wtedy, gdy nie ma PEEFA.

Jednak w przypadku trzech lub więcej agentów zestaw alokacji PE, które są zarówno EE, jak i EF, może być pusty. Dzieje się tak zarówno w gospodarkach wymiennych o jednorodnych podzielnych zasobach, jak iw gospodarkach o niepodzielnościach.

Nieruchomości

W szczególnym przypadku, w którym paczka referencyjna zawiera stały ułamek każdego towaru, reguła PEEEA ma kilka bardziej pożądanych właściwości:

• proporcjonalność : każdy agent uważa, że ​​jego udział jest co najmniej tak dobry, jak pakiet zawierający ${\ displaystyle 1/n}$ każdego zasobu.
• Monotoniczność populacji : kiedy agent opuszcza scenę i zasoby są ponownie dzielone zgodnie z tą samą zasadą, każdy z pozostałych agentów jest w słabej sytuacji.

Brakuje mu jednak innych pożądanych właściwości:

• brak zazdrości : nawet jeśli wszyscy agenci uważają, że ich pakiet jest równoważny z tym samym pakietem referencyjnym, mogą nadal wierzyć, że inny pakiet jest wart więcej niż ich.
• monotoniczność zasobów : gdy dostępnych jest więcej zasobów do alokacji, a zasoby są ponownie dzielone zgodnie z tą samą zasadą, sytuacja niektórych agentów może być gorsza.

W niektórych ustawieniach reguła PEEEA jest równoważna rozwiązaniu przetargowemu Kalai-Smorodinsky'ego .

Zobacz też

• Zasada egalitaryzmu – ogólna zasada wyboru społecznego.
• Egalitarne krojenie tortu i sprawiedliwe krojenie tortu - podobne kryteria w kontekście podziału heterogenicznego zasobu.