Realizacja nieliniowa

W fizyce matematycznej nieliniowa realizacja grupy Liego G posiadającej podgrupę Cartana H jest szczególną indukowaną reprezentacją G . W rzeczywistości jest to reprezentacja algebry Liego w sąsiedztwie jego pochodzenia Realizacja nieliniowa, ograniczona do podgrupy H , sprowadza się do reprezentacji liniowej.

Nieliniowa technika realizacji jest nieodłączną częścią wielu teorii pola ze spontanicznym łamaniem symetrii , np. modeli chiralnych , łamania chiralnej symetrii , teorii bozonów Goldstone'a , klasycznej teorii pola Higgsa , teorii grawitacji cechowania i supergrawitacji .

Niech G będzie grupą Liego, a H jego podgrupą Cartana dopuszczającą reprezentację liniową w przestrzeni wektorowej V . algebra Kłamstwa sol G dzieli się na sumę { podalgebry Cartana H i jej uzupełnienie , takie że

(Na przykład w fizyce się generatorom wektorowym, )

Istnieje otwarte sąsiedztwo U jednostki G takie, że każdy element jest jednoznacznie wprowadzany do postaci

Niech będzie otwartym sąsiedztwem jednostki takim, że i niech być otwartym sąsiedztwem H - niezmiennego centrum ilorazu G / H , który składa się z elementów

istnieje lokalna sekcja sol nad .

Za pomocą tej sekcji lokalnej można zdefiniować reprezentację indukowaną , zwaną realizacją nieliniową , elementów na podane przez wyrażenia

algebry Liego ma następującą postać.

Niech , będzie podstawą dla i odpowiednio wraz z relacjami komutacji

odczytuje pożądaną nieliniową realizację w

,

aż do drugiego rzędu w .

modelach fizycznych współczynniki traktowane jako pola Goldstone'a Podobnie rozważane są nieliniowe realizacje superalgebr Liego .

Zobacz też

  •   Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, Bruno (1969-01-25). „Struktura fenomenologicznych Lagrange'ów. I”. Przegląd fizyczny . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 177 (5): 2239–2247. doi : 10.1103/physrev.177.2239 . ISSN 0031-899X .
  •   Józef, A.; Salomon, AI (1970). „Globalne i nieskończenie małe nieliniowe transformacje chiralne”. Journal of Mathematical Physics . Wydawnictwo AIP. 11 (3): 748–761. doi : 10.1063/1.1665205 . ISSN 0022-2488 .
  •   Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. , Zaawansowana klasyczna teoria pola , World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .