Reguła Cromwella
 |
| Część serii |
| statystyk bayesowskich |
|---|
| Posterior = Prawdopodobieństwo × Prior ÷ dowodowe |
| Tło |
| Budynek modelowy |
| Przybliżenie tylne |
| estymatory |
| Ocena modelu |
Reguła Cromwella , nazwana przez statystyka Dennisa Lindleya , mówi, że należy unikać stosowania prawdopodobieństw a priori równych 1 („zdarzenie na pewno nastąpi”) lub 0 („zdarzenie na pewno nie nastąpi”), z wyjątkiem sytuacji, gdy stosuje się je do stwierdzeń, które są logicznie prawda lub fałsz, na przykład 2+2 równa się 4.
Odniesienie dotyczy Olivera Cromwella , który napisał do Zgromadzenia Ogólnego Kościoła Szkocji w dniu 3 sierpnia 1650 r., na krótko przed bitwą pod Dunbar , w tym zdanie, które stało się dobrze znane i często cytowane:
Błagam cię, w trzewiach Chrystusa, pomyśl, że możesz się mylić.
Jak to ujął Lindley, przypisanie prawdopodobieństwa powinno „pozostawić trochę prawdopodobieństwa, że księżyc jest zrobiony z zielonego sera ; może to być zaledwie 1 na milion, ale mieć je tam, ponieważ w przeciwnym razie armia astronautów powracająca z próbkami wspomnianego ser pozostawi cię niewzruszonym”. Podobnie, oceniając prawdopodobieństwo, że w wyniku rzutu monetą wypadnie orzeł lub reszka do góry, istnieje możliwość, choć niewielka, że moneta wyląduje na krawędzi i pozostanie w tej pozycji.
Jeśli prawdopodobieństwo wcześniejsze przypisane hipotezie wynosi 0 lub 1, to zgodnie z twierdzeniem Bayesa prawdopodobieństwo późniejsze (prawdopodobieństwo hipotezy, biorąc pod uwagę dowody) również musi wynosić 0 lub 1; żaden dowód, bez względu na to, jak silny, nie może mieć żadnego wpływu.
Wzmocniona wersja reguły Cromwella, mająca zastosowanie również do zdań arytmetycznych i logicznych, zmienia pierwszą regułę prawdopodobieństwa, czyli regułę wypukłości, 0 ≤ Pr ( A ) ≤ 1, na 0 < Pr ( A ) < 1.
Dywergencja bayesowska (pesymistyczna)
Przykład bayesowskiej rozbieżności opinii oparty jest na dodatku A do książki Sharon Bertsch McGrayne z 2011 roku. Tim i Susan nie zgadzają się co do tego, czy nieznajomy, który ma dwie uczciwe monety i jedną nieuczciwą monetę (jedna z orłami po obu stronach), rzucił jedną z dwóch uczciwych monet, czy też niesprawiedliwą; nieznajomy trzykrotnie rzucił jedną ze swoich monet i za każdym razem wypadła orzeł.
Tim zakłada, że nieznajomy wybrał monetę w sposób losowy – tzn. zakłada rozkład prawdopodobieństwa z wyprzedzeniem , w którym każda moneta ma 1/3 szans na to, że zostanie wybrana. Stosując wnioskowanie bayesowskie , Tim oblicza następnie 80% prawdopodobieństwo, że wynik trzech kolejnych orłów został osiągnięty przy użyciu nieuczciwej monety, ponieważ każda z uczciwych monet miała 1/8 szansy na wylosowanie trzech prostych orłów, podczas gdy nieuczciwa moneta miała szansa 8/8; z 24 równie prawdopodobnych możliwości tego, co może się wydarzyć, 8 na 10, które zgadzają się z obserwacjami, pochodziło z nieuczciwej monety. Jeśli przeprowadzanych jest więcej rzutów, każdy kolejny orzeł zwiększa prawdopodobieństwo, że moneta jest niesprawiedliwa. Jeśli nigdy nie pojawi się reszka, prawdopodobieństwo to zbiega się do 1. Ale jeśli reszka kiedykolwiek się pojawi, prawdopodobieństwo, że moneta jest nieuczciwa, natychmiast spada do 0 i pozostaje na poziomie 0 na stałe.
Zuzanna zakłada, że nieznajomy wybrał uczciwą monetę (tak więc wcześniejsze prawdopodobieństwo, że rzucona moneta jest monetą nieuczciwą, wynosi 0). W związku z tym Susan oblicza prawdopodobieństwo, że trzy (lub dowolna liczba kolejnych orłów) wyrzucona nieuczciwą monetą musi wynosić 0; jeśli rzuci się jeszcze więcej głów, Zuzanna nie zmieni swojego prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwa Tima i Susan nie są zbieżne, ponieważ rzuca się coraz więcej głów.
Zbieżność bayesowska (optymistyczna)
Przykład Bayesowskiej zbieżności opinii znajduje się w książce Nate'a Silvera z 2012 r. The Signal and the Noise: Dlaczego tak wiele prognoz zawodzi — ale niektóre nie . Po stwierdzeniu: „Absolutnie nic użytecznego nie powstaje, gdy jedna osoba, która uważa, że prawdopodobieństwo wystąpienia czegoś wynosi 0 (zero) procent, kłóci się z inną osobą, która uważa, że prawdopodobieństwo wynosi 100 procent”, Silver opisuje symulację, w której trzech inwestorów zaczyna od wstępne przypuszczenia 10%, 50% i 90%, że rynek akcji jest w okresie hossy; pod koniec symulacji (pokazanej na wykresie) „wszyscy inwestorzy dochodzą do wniosku, że znajdują się na hossie z prawie (choć oczywiście nie do końca) 100-procentową pewnością”.