Regularna dystrybucja (ekonomia)

Regularność , czasami nazywana regularnością Myersona , jest właściwością rozkładów prawdopodobieństwa stosowaną w teorii aukcji i zarządzaniu dochodami . Przykłady rozkładów spełniających ten warunek obejmują rozkłady gaussowskie , jednolite i wykładnicze ; niektóre prawa potęgowego również spełniają regularność. Rozkłady spełniające warunek regularności są często określane jako „rozkłady regularne”.

Definicje

W literaturze pojawiają się dwie równoważne definicje regularności. Oba są zdefiniowane dla rozkładów ciągłych, chociaż rozważano również analogi dla rozkładów dyskretnych.

Wklęsłość dochodu w przestrzeni kwantylowej

Rozważmy sprzedawcę wystawiającego na aukcji pojedynczy przedmiot kupującemu o $wartości$ . Za każdą cenę ustaloną przez sprzedawcę kupujący kupi przedmiot, jeśli ${\ displaystyle v \ geq$ $≥$ . Oczekiwany przychód sprzedawcy to ${\ Displaystyle p \ cdot \ Pr [v \ geq p]}$ . Definiujemy funkcję dochodu ${\ Displaystyle R: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ w następujący sposób: ${\ Displaystyle R (q)}$ to oczekiwany przychód, jaki sprzedawca uzyskałby, wybierając takie ${\ displaystyle p}$ że ${\ Displaystyle \ Pr [v \ geq p] = q}$ . Innymi słowy, to przychód, który można uzyskać ze sprzedaży przedmiotu z prawdopodobieństwem (ex-ante) q. $\ Displaystyle R (q)}$ ${\ displaystyle q}$ . Na koniec mówimy, że rozkład jest regularny, $wklęsłą$ jest funkcją .

Wirtualna wycena monotonna

Dla skumulowanej funkcji dystrybucji $i$ odpowiadającej jej funkcji gęstości prawdopodobieństwa $}$ v wirtualna wycena agenta jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle w (v): = v - {\ Frac {1-F (v)} {f (v)}}}

$,$ że rozkład wyceny jest regularny, jeśli monotoniczną, nie malejącą funkcją.

Aplikacje

Aukcja Myersona

Ważnym przypadkiem szczególnym rozważanym przez Myersona (1981) jest problem sprzedawcy wystawiającego na aukcji pojedynczy przedmiot jednemu lub większej liczbie kupujących, których wyceny przedmiotu pochodzą z niezależnych dystrybucji. Myerson wykazał, że problem prawdziwej maksymalizacji zysku sprzedawcy jest równoważny z maksymalizacją „wirtualnego dobrobytu społecznego”, czyli oczekiwanej wirtualnej wyceny licytanta, który otrzymuje przedmiot.

Gdy rozkłady wycen oferentów są regularne, wyceny wirtualne są monotonne w wycenach rzeczywistych, co oznacza, że przejście do wycen wirtualnych jest zgodne z zachętami. W ten sposób aukcja Vickreya może być wykorzystana do maksymalizacji wirtualnego dobrobytu społecznego (z dodatkowymi cenami minimalnymi gwarantującymi nieujemne wirtualne wyceny). Gdy rozkłady są nieregularne, stosuje się bardziej skomplikowaną procedurę prasowania w celu przekształcenia ich w regularne rozkłady.

Projekt mechanizmu niezależny od wcześniejszego

Wspomniana powyżej aukcja Myersona jest optymalna, jeśli sprzedający ma dokładne wcześniejsze , tj. dobre oszacowanie rozkładu wycen, jakie mogą mieć oferenci dla przedmiotu. Uzyskanie takiego dobrego przeoru może być wysoce nietrywialne, a nawet niemożliwe. Projekt mechanizmu niezależnego od uprzedniego ma na celu zaprojektowanie mechanizmów dla sprzedawców (i ogólnie agentów), którzy nie mają dostępu do takiego uprzedniego.

Regularne rozkłady są powszechnym założeniem w projektowaniu mechanizmów wcześniej niezależnych. Na przykład nowatorski Bulow & Klemperer (1996) wykazał, że jeśli wyceny oferentów dla pojedynczego przedmiotu są regularne i iid (lub identyczne i powiązane), dochód uzyskany ze sprzedaży na aukcji angielskiej n ${\ Displaystyle n + 1}$ licytanci dominują w przychodach uzyskanych ze sprzedaży dowolnym mechanizmem (w szczególności optymalnym mechanizmem Myersona) ${\ displaystyle n}$ .

Notatki

Jeremy'ego Bulowa; Paul Klemperer (marzec 1996). „Aukcje kontra negocjacje” . Amerykański Przegląd Ekonomiczny . Amerykańskie Stowarzyszenie Ekonomiczne . 86 (1): 180–194.