Regularyzacja Hadamarda

W matematyce regularyzacja Hadamarda (zwana także częścią skończoną Hadamarda lub partie finie Hadamarda ) jest metodą regulowania całek rozbieżnych poprzez usunięcie niektórych rozbieżnych terminów i zachowanie części skończonej, wprowadzoną przez Hadamarda ( 1923 , księga III, rozdział I, 1932 ). Riesz ( 1938 , 1949 ) wykazał, że można to interpretować jako przyjęcie meromorficznej kontynuacji całki zbieżnej.

Jeśli całka wartości głównej Cauchy'ego

f (t)} {tx}}\,dt\quad ({\text{dla}}a<x<b)}

istnieje, to można go różniczkować względem

x

, uzyskując całkę po części skończonej Hadamarda w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ lewo ({\ mathcal {C}} \ int _ {a} ^ {b} {\ Frac {f (t)}} {tx}} \, dt \ dobrze)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt\quad ({\text{for }}a<x<b).}

Zauważ, że symbole i $odpowiednio wartości głównej Cauchy'ego$ $całek po$ i częściach skończonych Hadamarda.

Powyższą całkę po części skończonej Hadamarda (dla $a < x < b$ ) można również przedstawić za pomocą następujących równoważnych definicji:

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} \ int _ {a} ^ {b} {\ Frac {f (t)} {(tx)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f (t)}{(tx)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\, dt- {\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon)}{\varepsilon}}\right\},}

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} \ int _ {a} ^ {b} {\ Frac {f (t)} {(tx) ^ {2}}} \, dt = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(tx)^{2}f(t)}{((tx)^{2}+\varepsilon ^ {2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\ frac {1}{bx}}-{\frac {1}{ax}}\right)\right\}.}

Powyższe definicje można wyprowadzić zakładając, że funkcja $f (t)$ jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy w $t = x dla a < x < b$ , to znaczy zakładając, że $f (t)$ można przedstawić za pomocą jej szeregu Taylora o $t = x$ . Aby uzyskać szczegółowe informacje, patrz Ang ( 2013 ). (Zauważ, że termin $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} − f ( x ) / 2 ( 1 / b - x - 1 / a - x )$ w drugiej równoważnej definicji powyżej brakuje w Ang ( 2013 ), ale jest to poprawione w arkuszu errata książki.)

Równania całkowe zawierające całki po częściach skończonych Hadamarda (z nieznanym $f (t)$ ) nazywane są hiperosobliwymi równaniami całkowymi. Hiperosobliwe równania całkowe pojawiają się przy formułowaniu wielu problemów w mechanice, takich jak analiza pęknięć.

Ang, Whye-Teong (2013), Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis , Oxford: Woodhead Publishing , s. 19–24, ISBN 978-0-85709-479-7 .
Ang, Whye-Teong, Arkusz Errata dla hipersingularnych równań całkowych w analizie pęknięć (PDF) .
Blanchet, Luc; Faye, Guillaume (2000), „regulacja Hadamarda”, Journal of Mathematical Physics , 41 (11): 7675–7714, arXiv : gr-qc/0004008 , Bibcode : 2000JMP....41.7675B , doi : 10.1063/1.1308506 , ISSN 0022-2488 , MR 1788597 , Zbl 0986.46024 .
Hadamard, Jacques (1923), Wykłady dotyczące problemu Cauchy'ego w liniowych równaniach różniczkowych cząstkowych , wydania Dover Phoenix, Dover Publications, Nowy Jork, s. 316, ISBN 978-0-486-49549-1 , JFM 49.0725.04 , MR 0051411 , Zbl 0049.34805 .
Hadamard, J. (1932), Le problemlème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (po francusku), Paryż: Hermann & Cie., s. 542, Zbl 0006.20501 .
Riesz, Marcel (1938), „Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels”. , Acta Litt. Ac Sient. Uniw. Zawieszony. Francisco-Josephinae, sek. nauka Matematyka ( Szeged ) (w języku francuskim), 9 (1–1): 1–42, JFM 64.0476.03 , Zbl 0018.40704 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 05.03.2016 , pobrane 22.06.2012 .
Riesz, Marcel (1938), „Rectification au travail” Integrales de Riemann-Liouville et potentiels „” , Acta Litt. Ac Sient. Uniw. Zawieszony. Francisco-Josephinae, sek. nauka Matematyka ( Szeged ) (w języku francuskim), 9 (2–2): 116–118, JFM 65.1272.03 , Zbl 0020.36402 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 2016-03-04 , pobrane 2012-06-22 .
Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problem de Cauchy", Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN 0001-5962 , MR 0030102 , Zbl 0033.27601