Schemat renormalizacji powłoki

W kwantowej teorii pola , a zwłaszcza w elektrodynamice kwantowej , teoria oddziaływań prowadzi do nieskończonych wielkości, które muszą zostać wchłonięte w procedurze renormalizacji , aby móc przewidzieć mierzalne wielkości. Schemat renormalizacji może zależeć od rodzaju rozważanych cząstek. W przypadku cząstek, które mogą przemieszczać się asymptotycznie na duże odległości lub w przypadku procesów o niskiej energii, schemat na powłoce , znany również jako schemat fizyczny. Jeśli te warunki nie są spełnione, można zwrócić się do innych schematów, jak np schemat minimalnego odejmowania (schemat MS).

Propagator fermionów w teorii oddziaływań

Znajomość różnych propagatorów jest podstawą do obliczania diagramów Feynmana , które są przydatnymi narzędziami do przewidywania np. wyników eksperymentów z rozpraszaniem. W teorii, w której jedynym polem jest pole Diraca , czyta propagator Feynmana

${\ Displaystyle \ langle 0 | T (\ psi (x) {\ bar {\ psi}} (0)} | 0 \ rangle = iS_ {F} (x) = \ int {\ Frac {d ^ {4} p}{(2\pi)^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}}$

gdzie jest $porządkującym$ czas , ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ próżnia w teorii nieoddziałującej, ${\ Displaystyle \ psi (x)}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} (x) }$ pole Diraca i jego sprzężenie Diraca, a lewa strona równania to dwupunktowa funkcja korelacji pola Diraca.

W nowej teorii pole Diraca może oddziaływać z innym polem, np. z polem elektromagnetycznym w elektrodynamice kwantowej, a siłę oddziaływania mierzy się parametrem, w przypadku QED jest to ładunek gołego elektronu, ${ \displaystyle e}$ . Ogólna postać propagatora powinna pozostać niezmieniona, co oznacza, że ​​jeśli ${\ Displaystyle | \ Omega \ rangle}$ teraz reprezentuje próżnię w teorii interakcji, dwupunktowa funkcja korelacji odczytałaby teraz

${\ Displaystyle \ langle \ Omega | T (\ psi (x) {\ bar {\ psi}} (0)) | \ Omega \ rangle = \ int {\ Frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}}$

Wprowadzono dwie nowe ilości. Najpierw zrenormalizowana masa $Feynmana$ zdefiniowana jako biegun w transformacie Fouriera propagatora Jest to główne zalecenie schematu renormalizacji na powłoce (nie ma wtedy potrzeby wprowadzania innych skal mas, jak w schemacie minimalnego odejmowania). Ilość $.$ pola Diraca Ponieważ interakcja jest zmniejszana do zera, pozwalając ${\ displaystyle e \ rightarrow 0}$ , te nowe parametry powinny zmierzać do wartości, aby odzyskać propagator swobodnego fermionu, a mianowicie ${\ Displaystyle m_ {r} \ rightarrow m}$ i ${\ Displaystyle Z_ {2} \ rightarrow 1}$ .

Oznacza to, że i można zdefiniować jako serię w $\ displaystyle e$$r {\ displaystyle m_ {r}$$} , jeśli ten$ jest wystarczająco mały (w systemie jednostek, gdzie ${\ Displaystyle \ hbar = c = 1}$ , ${\ Displaystyle e = {\ sqrt {4 \ pi \ alfa}} \ simeq 0,3}$ gdzie ${\ Displaystyle \ alpha }$ jest stała struktury subtelnej ). Zatem te parametry można wyrazić jako

${\ Displaystyle Z_ {2} = 1 + \ delta _ {2}}$

${\ Displaystyle m_ {r} = m + \ delta m}$

Z drugiej strony modyfikację propagatora można obliczyć do określonej kolejności za $pomocą$ Feynmana. Modyfikacje te są podsumowane w energii własnej fermionu ${\ Displaystyle \ Sigma (p)}$

${\ Displaystyle \ langle \ Omega | T (\ psi (x) {\ bar {\ psi}} (0)) | \ Omega \ rangle = \ int {\ Frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}}$

Te poprawki są często rozbieżne, ponieważ zawierają pętle . Poprzez zidentyfikowanie dwóch wyrażeń funkcji korelacji do pewnego rzędu w $,$ zdefiniować kontrwarunki, które pochłoną rozbieżne wkłady poprawek do propagatora fermionów. Zatem renormalizowane wielkości, $.$ jak , pozostaną skończone i będą wielkościami mierzonymi w

Propagator fotonów

Podobnie jak w przypadku propagatora fermionów, forma propagatora fotonów inspirowana polem swobodnych fotonów zostanie porównana z propagatorem fotonów obliczonym do pewnego rzędu w $interakcji$ . $_$ energię $($ i tensor + -- Konwencja)

${\ Displaystyle \ langle \ Omega | T (A ^ {\ mu} (x) A ^ { \nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi)^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4} q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i \epsilon }}}$

Zachowanie kontrtermu $od$ fotonu $q$ } stosuje się zachowanie QED na dużych odległościach (co powinno pomóc w odzyskaniu klasycznej elektrodynamiki ), tj. Gdy ${\ displaystyle q ^ {2} \ rightarrow 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {-i \ eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i \eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}}$

$\ Displaystyle \$ przeciwtermin ustalany na wartość . $_ {3}}$ delta

Funkcja wierzchołka

Podobne rozumowanie z wykorzystaniem funkcji wierzchołków prowadzi do renormalizacji ładunku elektrycznego ${\ displaystyle e_ {r}}$ . Ta renormalizacja i ustalanie warunków renormalizacji odbywa się przy użyciu tego, co jest znane z klasycznej elektrodynamiki w dużych skalach przestrzennych. $w$ do wartości kontrtermu $tożsamość$ rzeczywistości jest równa względu na Warda – . To właśnie ta kalkulacja odpowiada za tzw anomalny magnetyczny moment dipolowy fermionów.

Przeskalowanie Lagrange'a QED

Rozważaliśmy niektóre czynniki proporcjonalności (takie jak $które$ zostały zdefiniowane na podstawie postaci propagatora. Jednak można je również zdefiniować na podstawie Lagrange'a QED, co zostanie zrobione w tej sekcji, i te definicje są równoważne. Lagrange'a opisującego fizykę elektrodynamiki kwantowej jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ Frac {1} 4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\częściowe \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\ psi }}\gamma ^{\mu}\psi A_{\mu}}$

gdzie $jest$ tensorem natężenia pola jest $Diraca$$.$ relatywistyczny odpowiednik falowej ) elektromagnetycznym czteropotencjałowy . Parametry teorii to ${\ Displaystyle \ psi}$ , ${\ Displaystyle A}$ , ${\ Displaystyle m}$ i ${\ Displaystyle e}$ . Wielkości te są nieskończone ze względu na poprawki pętli (patrz poniżej). Można zdefiniować renormalizowane wielkości (które będą skończone i obserwowalne):

${\ Displaystyle \ psi = {\ sqrt {Z_ {2 }}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r }+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\ ;\;\;\;{\tekst{z}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}}$

δ ${\ displaystyle \ delta _ {i}} nazywane są kontrargumentami ($ są inne ich definicje). Mają być małe w parametrze ${\ displaystyle e}$ . Lagrangian brzmi teraz w kategoriach zrenormalizowanych ilości (do pierwszego rzędu w kontrwarunkach):

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ Frac {1} {4}} Z_ {3} F _ {\ mu \ nu, r} F_ {r} ^ {\ mu \ nu} + Z_{2}{\bar {\psi}}_{r}(i\częściowo \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi}}_{ r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi}}_{r}\gamma ^{\mu}\psi _{r}A_{\mu , R}}$

Recepta renormalizacji to zestaw reguł opisujących, jaka część rozbieżności powinna znajdować się w zrenormalizowanych wielkościach, a jaka część powinna znajdować się w kontrwarunkach. Recepta jest często oparta na teorii $pól swobodnych$$,$ czyli zachowania się gdy nie oddziałują (co odpowiada usunięciu ${\ Displaystyle e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi A_ {\ mu}}$ w Lagrange'a).

• M. Peskin; D. Schroedera (1995). Wprowadzenie do kwantowej teorii pola . Czytanie: Addison-Weasley.
• M. Średninicki. Kwantowa teoria pola .
• T. Gehrmanna. Kwantowa teoria pola 1. .