Regulus (geometria)

Model strunowy części regularusa i jego przeciwieństwa, aby pokazać reguły na hiperboloidzie jednego arkusza

W przestrzeni trójwymiarowej, regularus R jest zbiorem linii skośnych , z których każdy punkt leży na poprzecznej przecinającej element R tylko raz, i taki, że każdy punkt na poprzecznej leży na prostej R

Zbiór poprzecznych R tworzy przeciwny regulus S . W ℝ ³ związek R ∪ S jest prostopadłą powierzchnią hiperboloidy o jednym arkuszu .

Trzy skośne linie określają regularusa:

Miejsce, w którym linie przecinają trzy dane skośne, nazywa się regulusem . Twierdzenie Gallucciego pokazuje, że linie stykające się z generatorami regulusa (w tym trzy pierwotne linie) tworzą kolejny „skojarzony” regulus, tak że każdy generator jednego regulusa spotyka się z każdym generatorem drugiego. Dwa reguli to dwa układy generatorów kwadratu rządzonego .

Według Charlotte Scott „regus dostarcza niezwykle prostych dowodów właściwości stożka… twierdzenia Chaslesa, Brianchona i Pascala …”

W skończonej geometrii PG(3, q ) regularus ma q + 1 prostych. Na przykład w 1954 roku William Edge opisał parę reguli po cztery linie każda w PG(3,3).

Robert JT Bell opisał, w jaki sposób regulus jest generowany przez poruszającą się linię prostą. x ${\ Frac {y ^ {2} }}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\ =\ 1}$ jest rozłożone jako

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {x} {a}} + {\ Frac {z} {c}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {x} {a}} - {\ Frac {z} {c}}\right)\ =\ \left(1+{\frac {y}{b}}\right)\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

Wówczas dwa układy linii, sparametryzowane przez λ i μ, spełniają to równanie:

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {a}} + {\ Frac {z} {c }}\ =\ \lambda \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\lambda}}\left(1-{\frac {y}{b}}\right)}$ i

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {a}} - {\ Frac {z} {c}} \ = \ \ mu \ lewo (1 + {\ Frac {y} {b}} \ prawo), \ quad {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\mu}}\left(1-{\frac {y}{b}} \Prawidłowy).}$

Żaden członek pierwszego zestawu linii nie jest członkiem drugiego. Gdy zmienia się λ lub μ, generowana jest hiperboloida. Te dwa zestawy reprezentują regularusa i jego przeciwieństwo. Korzystając z geometrii analitycznej , Bell udowadnia, że ​​żadne dwa generatory w zbiorze się nie przecinają i że dowolne dwa generatory w przeciwnych regulach przecinają się i tworzą płaszczyznę styczną do hiperboloidy w tym punkcie. (strona 155).

Zobacz też

• Płaszczyzna translacji § Reguli i rozkłady regularne

• HG Forder (1950) Geometry , strona 118, Hutchinson's University Library.