Rekonstrukcja pola wektorowego
Rekonstrukcja pola wektorowego to metoda tworzenia pola wektorowego z danych eksperymentalnych lub generowanych komputerowo, zwykle w celu znalezienia modelu równania różniczkowego systemu.
Model równań różniczkowych to taki, który opisuje wartość zmiennych zależnych w miarę ich ewolucji w czasie lub przestrzeni, podając równania obejmujące te zmienne i ich pochodne w odniesieniu do niektórych zmiennych niezależnych , zwykle czasu i/lub przestrzeni. Równanie różniczkowe zwyczajne to takie, w którym zmienne zależne systemu są funkcjami tylko jednej zmiennej niezależnej. Wiele układów fizycznych, chemicznych, biologicznych i elektrycznych jest dobrze opisanych za pomocą równań różniczkowych zwyczajnych. Często zakładamy, że układem rządzą równania różniczkowe, ale nie mamy dokładnej wiedzy o wpływie różnych czynników na stan układu. Na przykład, możemy mieć obwód elektryczny, który teoretycznie jest opisany układem równań różniczkowych zwyczajnych, ale ze względu na tolerancję rezystory , wahania napięcia zasilającego czy zakłócenia z zewnątrz nie znamy dokładnych parametrów układu. W przypadku niektórych systemów, zwłaszcza tych, które obsługują chaos , niewielka zmiana wartości parametrów może spowodować dużą zmianę w zachowaniu systemu, dlatego niezwykle ważny jest dokładny model. Dlatego może być konieczne skonstruowanie dokładniejszych równań różniczkowych poprzez zbudowanie ich w oparciu o rzeczywistą wydajność systemu, a nie model teoretyczny. Idealnie byłoby zmierzyć wszystkie zaangażowane zmienne dynamiczne w dłuższym okresie czasu, stosując wiele różnych warunków początkowych , a następnie zbudować lub dostroić model równania różniczkowego na podstawie tych pomiarów.
W niektórych przypadkach możemy nawet nie wiedzieć wystarczająco dużo o procesach zachodzących w systemie, aby nawet sformułować model. W innych przypadkach możemy mieć dostęp tylko do jednej zmiennej dynamicznej dla naszych pomiarów, tj. mamy skalarny szereg czasowy . Jeśli dysponujemy tylko skalarnym szeregiem czasowym, musimy zastosować metodę osadzania opóźnienia czasowego lub współrzędnych pochodnych, aby otrzymać wystarczająco duży zbiór zmiennych dynamicznych do opisania układu.
W skrócie, gdy już mamy zestaw pomiarów stanu systemu w pewnym okresie czasu, znajdujemy pochodne tych pomiarów, co daje nam lokalne pole wektorowe, a następnie wyznaczamy globalne pole wektorowe zgodne z tym polem lokalnym. Zwykle odbywa się to przez najmniejszych kwadratów do danych pochodnych.
Sformułowanie
W najlepszym możliwym przypadku mamy strumienie danych pomiarów wszystkich zmiennych systemowych, powiedzmy równomiernie rozłożonych w czasie
- s 1 (t), s 2 (t), ... , sk (t)
Do
- t = t 1 , t 2 ,..., t n ,
zaczynając od kilku różnych warunków początkowych. Wtedy zadanie znalezienia pola wektorowego, a więc modelu równania różniczkowego polega na dopasowaniu funkcji, np. splajnu sześciennego , do danych w celu uzyskania zestawu funkcji czasu ciągłego
- x 1 (t), x 2 (t), ... , x k (t),
obliczenie pochodnych czasowych dx 1 /dt, dx 2 /dt,...,dx k /dt funkcji, a następnie dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów za pomocą pewnego rodzaju ortogonalnych funkcji bazowych ( wielomiany ortogonalne , radialne funkcje bazowe itp.) każdą składową wektorów stycznych, aby znaleźć globalne pole wektorowe. Równanie różniczkowe można wtedy odczytać z globalnego pola wektorowego.
Istnieją różne metody tworzenia funkcji bazowych dla dopasowania metodą najmniejszych kwadratów. Najpopularniejszą metodą jest proces Grama-Schmidta . Który tworzy zestaw ortogonalnych wektorów bazowych, które można następnie łatwo znormalizować. Ta metoda zaczyna się od wybrania dowolnej bazy standardowej β={v 1 , v 2 ,...,v n }. Następnie ustaw pierwszy wektor v 1 =u 1 . Następnie ustawiamy u 2 = v 2 -proj u 1 v 2 . Proces ten jest powtarzany dla k wektorów, przy czym końcowym wektorem jest u k = v k -Σ (j=1) (k-1) proj u k v k . To następnie tworzy zestaw ortogonalnych standardowych wektorów bazowych.
Powód zastosowania standardowej bazy ortogonalnej zamiast standardowej bazy wynika z późniejszego utworzenia dopasowania metodą najmniejszych kwadratów. Tworzenie dopasowania metodą najmniejszych kwadratów rozpoczyna się od przyjęcia pewnej funkcji, w przypadku rekonstrukcji wielomianu n-tego stopnia , i dopasowania krzywej do danych za pomocą stałych. Dokładność dopasowania można zwiększyć, zwiększając stopień wielomianu używanego do dopasowania danych. Jeżeli zastosowano zestaw nieortogonalnych standardowych funkcji bazowych, konieczne staje się ponowne obliczenie stałych współczynników funkcji opisującej dopasowanie. Jednak przy użyciu ortogonalnego zestawu funkcji bazowych nie jest konieczne ponowne obliczanie stałych współczynników.
Aplikacje
Rekonstrukcja pola wektorowego ma kilka zastosowań i wiele różnych podejść. Niektórzy matematycy nie tylko używali radialnych funkcji bazowych i wielomianów do rekonstrukcji pola wektorowego, ale używali wykładników Lapunowa i rozkładu na wartości osobliwe . Gouesbet i Letellier wykorzystali wielowymiarowe przybliżenie wielomianowe i metodę najmniejszych kwadratów, aby zrekonstruować swoje pole wektorowe. Metodę tę zastosowano do układu Rösslera , układu Lorenza oraz oscylacji soczewki termicznej.
Układ Rosslera, układ Lorenza i oscylacja soczewki termicznej są zgodne z równaniami różniczkowymi w układzie standardowym as
- X'=Y, Y'=Z i Z'=F(X,Y,Z)
gdzie F(X,Y,Z) jest znane jako funkcja standardowa.
Kwestie implementacji
W niektórych sytuacjach model jest mało wydajny i mogą pojawić się trudności, jeśli model ma dużą liczbę współczynników i pokazuje rozwiązanie rozbieżne. Na przykład nieautonomiczne równania różniczkowe dają wcześniej opisane wyniki. W tym przypadku modyfikacja standardowego podejścia w aplikacji daje lepszy sposób dalszego rozwoju globalnej rekonstrukcji wektorowej.
Zazwyczaj system modelowany w ten sposób jest chaotycznym układem dynamicznym , ponieważ układy chaotyczne eksplorują dużą część przestrzeni fazowej i oszacowanie dynamiki globalnej na podstawie dynamiki lokalnej będzie lepsze niż w przypadku systemu eksplorującego tylko niewielką część przestrzeni fazowej. przestrzeń.
Często mamy tylko jeden skalarny pomiar szeregów czasowych z systemu, o którym wiadomo, że ma więcej niż jeden stopień swobody . Szeregi czasowe mogą nawet nie pochodzić ze zmiennej systemowej, ale zamiast funkcji wszystkich zmiennych, takich jak temperatura w reaktorze zbiornikowym z mieszaniem, przy użyciu kilku związków chemicznych. W takim przypadku należy zastosować technikę osadzania współrzędnych opóźnienia , w której konstruowany jest wektor stanu składający się z danych w czasie t oraz kilku opóźnionych wersji danych.
Obszerny przegląd tematu jest dostępny pod adresem