Reprezentacja Burau

W matematyce reprezentacja Burau jest reprezentacją grup warkoczy , nazwanych na cześć i pierwotnie badanych przez niemieckiego matematyka Wernera Burau w latach trzydziestych XX wieku. Reprezentacja Burau ma dwa wspólne i prawie równoważne sformułowania, zredukowaną i niezredukowaną reprezentację Burau.

Definicja

Przestrzeń pokrywającą

Cn .

można sobie konkretnie wyobrazić w następujący sposób: przeciąć krążek wzdłuż linii od granicy do zaznaczonych punktów Weź tyle kopii wyniku, ile jest liczb całkowitych, ułóż je pionowo i połącz rampami biegnącymi z jednej strony przecięcia na jednym poziomie do drugiej strony przecięcia na poziomie niższym. Ta procedura jest pokazana tutaj dla

n = 4

; przekształcenia obejmujące

t \pm 1

działają poprzez przesunięcie przestrzeni w pionie.

Rozważ grupę warkoczy $B n$ jako grupę klas odwzorowania dysku z $n$ zaznaczonymi punktami $D n$ . Grupa homologii $H1 (Dn) jest .$ wolnym abelem rangi $n$ Co więcej, niezmienna podprzestrzeń $H 1 (D n)$ (pod działaniem $B n$ ) jest prymitywna i nieskończona cyklicznie. Niech $π : H 1 (D n) \to Z$ będzie rzutem na tę niezmienną podprzestrzeń. $Cn Następnie$ istnieje przestrzeń pokrywająca odpowiadająca tej mapie projekcji. Podobnie jak w konstrukcji wielomianu Aleksandra , $H 1 (C n)$ rozważmy jako moduł nad pierścieniem grupowym przekształceń obejmujących $Z [Z]$ , który jest izomorficzny z pierścieniem wielomianów Laurenta $Z [t, t -1]$ . Jako $Z [t, t -1]$ , $H 1 (C n)$ jest wolny od rangi $n - 1$ . Zgodnie z podstawową teorią przestrzeni pokrywających , $Bn reprezentacją$ działa na H1 $zredukowaną (Cn), .$ a ta reprezentacja jest nazywana Burau

Niezredukowana reprezentacja Burau ma podobną $Dn definicję$ , mianowicie zastępuje się jej (rzeczywistym, zorientowanym) powiększeniem w zaznaczonych punktach. Wtedy zamiast rozważać $H 1 (C n)$ rozważa się względną homologię $H 1 (C n, Γ)$ gdzie $γ \subset D n$ jest częścią granicy $D n$ odpowiadającą operacji rozdmuchu wraz z jednym punktem na granica dysku. $Γ$ oznacza wzrost $γ$ do $Cn .$ Jako moduł $Z [t, t -1]$ jest to wolne od rangi $n$ .

Dzięki homologicznej długiej sekwencji dokładnej pary , reprezentacje Burau pasują do krótkiej sekwencji dokładnej

0 \to V r \to V u \to re \oplus Z [t, t -1] \to 0,

gdzie $V r$ (odp. $V u$ ) jest zredukowanym (odp. niezredukowanym) modułem Burau $B n$ , a $D \subset Z n$ jest dopełnieniem diagonalnej podprzestrzeni, innymi słowy:

{\ Displaystyle D = \ lewo \ {\ lewo (x_ {1}, \ cdots, x_ {n} \right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},}

i $Bn .$ działa na $Zn przez$ reprezentację permutacji

Jawne macierze

Niech $σ i$ oznacza standardowe generatory grupy oplotów $B n$ . Wtedy niezredukowaną reprezentację Burau można podać jawnie przez odwzorowanie

{\ Displaystyle \ sigma _ {i} \ mapsto \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {c | cc | c} I_ { i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&I_{ni-1}\end{tablica}}\right),}

dla $1 \leq i \leq n - 1$ , gdzie $I k$ oznacza macierz identyczności $k \times k$ . Podobnie dla $n \geq 3$ zredukowana reprezentacja Burau jest dana przez

{\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ mapsto \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {cc | c} -t & 1 & 0 \\ 0 i 1 & 0 \\\ hline 0 & 0 & I_ { n-3} \ koniec {tablica}} \ prawo),}

{\ Displaystyle \ sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hline 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hline 0&0&0&0&I_{ni- 2} \ koniec {tablica}} \ prawej), \ quad 2 \ równoważnik ja \ równoważnik n-2,} σ

\ Displaystyle \ sigma _ {n- 1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),}

natomiast dla $n = 2$ mapuje

{\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ mapsto \ lewo (-t \ prawo).}

Interpretacja kręgielni

Vaughan Jones podał następującą interpretację niezredukowanej reprezentacji Burau dodatnich warkoczy dla $t$ w $[0,1]$ – tj. dla warkoczy, które są słowami w standardowych generatorach grup warkoczy nie zawierających odwrotności – co wynika bezpośrednio z powyższego wyraźnego opisu:

Biorąc pod uwagę dodatni warkocz $σ$ na $n$ pasmach, zinterpretuj go jako kręgielnię z $n$ przeplatającymi się torami. Teraz rzuć kulą do kręgli jednym z torów i załóż, że na każdym skrzyżowaniu, gdzie jej ścieżka przecina inny pas, spada z prawdopodobieństwem $t$ i kontynuuje wzdłuż dolnego pasa. Wtedy $(i, j)$ 'ty zapis niezredukowanej reprezentacji $σ w Burau$ jest prawdopodobieństwem, że piłka rzucona na $i$ ' tor trafi na $j$ ' tor.

Związek z wielomianem Aleksandra

Jeśli węzeł $K$ jest zamknięciem warkocza $f$ w $B n$ , to aż do pomnożenia przez jednostkę w $Z [t, t -1]$ , wielomian Aleksandra $Δ K (t)$ z $K$ jest dany przez

{\ Displaystyle {\ Frac {1-t} {1-t ^ {n}}} \ det (If_ {*}),}

gdzie $f *$ jest zredukowaną reprezentacją Burau warkocza $f$ .

Na przykład, jeśli $f = σ 1 σ 2$ w $B 3$ , używając jawnych macierzy powyżej, można stwierdzić, że

{\ Displaystyle {\ Frac {1-t} {1-t ^ {n}}} \ det (If_ {*}) = t ,}

a domknięcie $f *$ jest nieunktem, którego wielomian Aleksandra wynosi $1$ .

Wierność

Pierwsze niewierne reprezentacje Burau zostały znalezione przez Johna A. Moody'ego bez użycia komputera, używając pojęcia liczby uzwojeń lub integracji konturów. Bardziej konceptualne zrozumienie, dzięki Darrenowi D. Longowi i Markowi Patonowi, interpretuje łączenie lub uzwojenie jako pochodzące z dualności Poincarégo w pierwszej homologii względem punktu bazowego przestrzeni pokrywającej i wykorzystuje formę przecięcia (tradycyjnie nazywaną Formą Squiera, ponieważ Craig Squier był jako pierwszy zbadał jego właściwości). Stephen Bigelow połączył techniki komputerowe i twierdzenie Longa-Patona, aby pokazać, że reprezentacja Burau nie jest wierna dla $n \geq 5$ . Bigelow ponadto zapewnia wyraźny nietrywialny element w jądrze jako słowo w standardowych generatorach grupy warkoczyków: niech

{\ Displaystyle \ psi _ {1} = \ sigma _ {3} ^ {-1} \ sigma _ {2} \ sigma _ {1} ^ {2} \ sigma _ {2} \ sigma _ {4} ^ {3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5 }.}

Następnie element jądra jest podawany przez komutator

{\ Displaystyle [\ psi _ {1} ^ {-1} \ sigma _ {4} \ psi _ {1}, \ psi _ {2} ^ {-1} \ sigma _ {4} \ sigma _ {3 }\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].}

Od pewnego czasu wiadomo, że reprezentacja Burau dla $n = 2, 3 jest wierna.$ Wierność reprezentacji Burau, gdy $n = 4$ jest problemem otwartym. Reprezentacja Burau pojawia się jako suma reprezentacji Jonesa, a dla $n = 4$ wierność reprezentacji Burau jest równoważna z reprezentacją Jonesa, która z drugiej strony jest związana z pytaniem, czy wielomian Jonesa jest detektorem bez węzłów .

Geometria

Craig Squier wykazał, że reprezentacja Burau zachowuje seskwilinearną formę . Co więcej, gdy zmienna $t$ zostanie wybrana jako transcendentalna liczba zespolona jednostki bliska $1$ , jest to dodatnio określona para hermitowska . Tak więc reprezentację Burau grupy warkoczy $Bn grupy$ można traktować jako mapę do unitarnej U( n ).

Linki zewnętrzne

„ Twierdzenie Burau ”, The Knot Atlas .