Reprezentacja superalgebry Liego
W matematycznej dziedzinie teorii reprezentacji reprezentacja superalgebry Liego jest działaniem superalgebry Liego L na Z 2 przestrzeń wektorową V o stopniu , tak że jeśli A i B są dowolnymi dwoma czystymi elementami L i X , a Y są dowolnymi następnie dwa czyste elementy V
![{\displaystyle [A,B]\cdot X=A\cdot (B\cdot X)-(-1)^{AB}B\cdot (A\cdot X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f3a1bbbd50a0a9cbf80e2f1b88aa4d51d9bb06)
Równoważnie , reprezentacja L jest stopniowaną przez Z2 reprezentacją uniwersalnej algebry obwiedniowej L , która uwzględnia trzecie równanie powyżej.
Jednostkowa reprezentacja gwiazdy Superalgebra Liego
A * Superalgebra Liego jest złożoną superalgebra Liego wyposażoną w inwolucyjną mapę antyliniową * taką, że * uwzględnia stopniowanie i
- [a,b] * =[b * ,a * ].
Jednostkową reprezentacją takiej algebry Liego jest przestrzeń Hilberta o stopniu Z 2 , która jest reprezentacją superalgebry Liego jak powyżej, wraz z wymaganiem, aby samosprzężone elementy superalgebry Liego były reprezentowane przez transformacje hermitowskie .
Jest to główna koncepcja w badaniu supersymetrii wraz z przedstawieniem superalgebry Liego w algebrze. Powiedzmy, że A jest *-algebrową reprezentacją superalgebry Liego (wraz z dodatkowym wymogiem, że * uwzględnia ocenę i L[a] * = -(-1) La L * [a * ]), a H jest unitarnym powtórzeniem i także H jest unitarną reprezentacją A.
Wszystkie te trzy powtórzenia są zgodne, jeśli dla czystych elementów a w A, |ψ> w H i L w superalgebrze Liego,
- L[a|ψ>)]=(L[a])|ψ>+(-1) La a(L[|ψ>]).
Czasami superalgebra Liego jest osadzona w A w tym sensie, że istnieje homomorfizm od uniwersalnej algebry otaczającej superalgebry Liego do A. W takim przypadku powyższe równanie sprowadza się do
- L[a]=La-(-1) La aL.
Podejście to pozwala uniknąć bezpośredniej pracy z supergrupą Liego, a tym samym pozwala uniknąć użycia pomocniczych liczb Grassmanna .
Zobacz też