Rozmaitość Meyerhoffa

W geometrii hiperbolicznej rozmaitość Meyerhoffa jest arytmetyczną hiperboliczną 3-rozmaitością otrzymaną przez operację uzupełnienia węzła figury 8. ${\ Displaystyle (5,1)$ } Został wprowadzony przez Roberta Meyerhoffa ( 1987 ) jako potencjalny kandydat na hiperboliczną 3-rozmaitość o najmniejszej objętości, ale okazało się, że rozmaitość Weeksa ma nieco mniejszą objętość. Ma drugą najmniejszą objętość

${\ Displaystyle V_ {m} = 12 \ cdot (283) ^ {3/2} \ zeta _ {k }(2)(2\pi )^{-6}=0,981368\kropki }$

orientowalnych arytmetycznych hiperbolicznych 3-rozmaitości, gdzie ${\ displaystyle \$ funkcją zeta kwartalnego pola dyskryminatora $zeta _ {k}$ } Alternatywnie,

${\ Displaystyle V_ {m} = \ Im ({\ rm {{Li} _ {2} (\theta )+\ln |\theta |\ln(1-\theta ))=0,981368\kropki }}}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ rm {{Li} _ {n}}}}$ jest polilogarytmem i ${\ Displaystyle | x |}$ to wartość bezwzględna $θ$ zespolonego (z dodatnią częścią urojoną) kwarcu 4 $Displaystyle \ theta ^ {4} + \ theta -1=0}$ .

Ted Chinburg ( 1987 ) wykazał, że ta rozmaitość jest arytmetyczna.

Zobacz też

• Rozmaitość Giesekinga
• Wiele tygodni

•     Chinburg, Ted (1987), „Mała arytmetyczna hiperboliczna trójwymiarowa”, Proceedings of the American Mathematical Society , 100 (1): 140–144, doi : 10.2307/2046135 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2046135 , MR 0883417
•    Chinburg, Ted; Friedman Eduardo; Jones, Kerry N.; Reid, Alan W. (2001), „Arytmetyczna hiperboliczna 3-rozmaitość najmniejszej objętości” , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Seria IV , 30 (1): 1–40, ISSN 0391-173X , MR 1882023
•    Meyerhoff, Robert (1987), „Dolna granica objętości hiperbolicznych 3-rozmaitości”, Canadian Journal of Mathematics , 39 (5): 1038–1056, doi : 10.4153 / CJM-1987-053-6 , ISSN 0008- 414X , MR 0918586