Arytmetyczna hiperboliczna 3-rozmaitość

W matematyce , a dokładniej w teorii grup i geometrii hiperbolicznej , arytmetyczne grupy Kleinowskie są specjalną klasą grup Kleinowskich skonstruowanych przy użyciu rzędów w algebrach kwaternionów . Są to szczególne przypadki grup arytmetycznych . Arytmetyczna $hiperboliczna$ trójrozmaitość to iloraz przestrzeni hiperbolicznej arytmetyczną grupę Kleina

Definicja i przykłady

Algebry kwaternionów

Główny artykuł: algebra kwaternionów

Algebra kwaternionów nad $czterowymiarową$$centralną$ prostą -algebrą . $, i, j, ij}$${\ Displaystyle i ^ {2}, j ^ {2} \ w fa ^ {\ razy}}$ gdzie , ${\ Displaystyle ij = -ji}$ ja .

$, że algebra$ jest podzielona na, ${\ Displaystyle M_ {2} (F)$ jest izomorficzna jako -algebra z algebrą macierzy $fa$ ; algebra kwaternionów na ciele algebraicznie zamkniętym jest zawsze podzielona.

σ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle A \ otimes _ {\ sigma}$ osadzeniem w polu mi $E$$}$ będziemy oznaczać algebrą ZA otrzymane przez $sigma$${$ od do , $.$ postrzegamy jako $podpole$ mi $\ displaystyle$ }

Arytmetyczne grupy Kleinowskie

Mówi się, że $podgrupa$ z algebry pochodzi z algebry kwaternionów, następującej konstrukcji Niech $będzie$ polem liczbowym , ma dokładnie dwa osadzenia w którego obraz nie jest zawarty w (jeden sprzężony z drugim) $C}}$$mathbb$ . Niech $będzie$ algebrą kwaternionów nad $\displaystyle A\otimes _{\tau}\mathbb {R}}$ , że dla każdego osadzania $ZA$ τ $: F \ do \ mathbb {$$tau$ jest izomorficzne z kwaternionami Hamiltona . Następnie potrzebujemy zamówienia $.$$mathcal {O}}}$ \ w Niech $^ {1}$ grupą elementów w $}$ zredukowanej 1 i niech będzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}$ jego obraz w ${\ Displaystyle M_ {2} (\ mathbb {C})}$ przez ${\ Displaystyle \ phi}$ . $)$ 1 ) ${PGL} _ {2} (\ mathbb {$ .

Głównym faktem dotyczącym tych grup jest to, że są one $skończoną$ dla Haara na ${\ displaystyle F$ konstrukcja daje podgrupę współzwartą wtedy i tylko wtedy, gdy algebra nie jest podzielona na $}$ . Dyskretność jest raczej bezpośrednią konsekwencją faktu, że $jest$ tylko w swoich złożonych osadzeniach. Trudniej jest udowodnić skończoność covolume.

Arytmetyczna grupa Kleinowska $(\ mathbb {C})},$ dowolna podgrupa z współmierna grupy pochodzącej z algebry kwaternionów $)$ skończoną kowalność (oznacza to, że w ).

Przykłady

$fa$ podano, biorąc za wyimaginowane pole kwadratowe , ${\ Displaystyle A = M_ {2} (F)}$ i $)}$${\$${\ Displaystyle F = \ mathbb {Q} (i)}$${ F$ gdzie jest pierścieniem liczb całkowitych ( na przykład $=$ i ${\ Displaystyle O_ {F} = \ mathbb {Z} [i]})$ . Otrzymane w ten sposób grupy to grupy Bianchi . Nie są kozwarte, a każda arytmetyczna grupa Kleinowska, która nie jest współmierna do koniugatu grupy Bianchiego, jest kozwarta.

Jeśli $które$$wyimaginowanym$ kwadratowym polem liczbowym, $nie$ jest izomorficzne z algebrą macierzową, to grupy jednostek rzędów w współzwarte

Pole śledzenia rozmaitości arytmetycznych

Niezmienne pole śladowe grupy Kleinowskiej (lub, poprzez monodromiczny obraz grupy podstawowej, rozmaitości hiperbolicznej) jest polem generowanym przez ślady kwadratów jej elementów. $displaystyle$ przypadku rozmaitości arytmetycznej, której podstawowe grupy są współmierne z grupami rozmaitości wyprowadzonej z algebry kwaternionów na polu liczbowym, niezmienne pole śledzenia jest równe $F}$ .

Można bowiem scharakteryzować rozmaitości arytmetyczne na podstawie śladów elementów ich grupy podstawowej. Grupa Kleinowska jest grupą arytmetyczną wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące trzy warunki:

• Jego niezmienne pole śledzenia jest polem liczbowym z dokładnie jednym złożonym miejscem; ${\ displaystyle F}$
• Ślady jego elementów są algebraicznymi liczbami całkowitymi ;
• γ $_$$}$${\ Displaystyle \ sigma: F \ do \ mathbb {R}}$ grupie _ mamy ${\ Displaystyle |\ sigma (t) | \ równoważnik 2}$ .

Geometria i widmo trójrozmaitości arytmetycznych hiperbolicznych

Formuła objętościowa

Dla objętości arytmetyczna trzy rozmaitość wyprowadzona z maksymalnego rzędu w algebrze kwaternionów ${\ Displaystyle M = \ Gamma _ {\ mathcal {O}} \ ukośnik odwrotny \ mathbb {H} ^ {3}}$${\ displaystyle A}$ nad polem liczbowym ${\ displaystyle f}$ wyrażenie: fa

$${\ Displaystyle \ operatorname {vol} (M) = {\ Frac {2| D_ {F} | ^ {\ Frac {3} {2}} \ cdot \ zeta _ {F} (2)} {2 ^ { 2r+1}\cdot \pi ^{2r}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}|D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).}$$

gdzie są wyróżnikami odpowiednio $}$$\ zeta _$ { $}$ to Dedekind funkcja zeta $i$ r [ $\ Displaystyle r = [F: \ mathbb {Q}$ .

Wyniki skończoności

Konsekwencją formuły objętości w poprzednim akapicie jest to

Biorąc pod uwagę $> 0}$ że istnieje co najwyżej skończenie wiele arytmetycznych hiperbolicznych 3-rozmaitości o objętości mniejszej niż $displaystyle v$ .

Kontrastuje to z faktem, że hiperboliczna chirurgia Dehna może być wykorzystana do wytworzenia nieskończenie wielu nieizometrycznych hiperbolicznych 3-rozmaitości o ograniczonej objętości. W szczególności konsekwencją jest to, że biorąc pod uwagę zakrzywioną rozmaitość hiperboliczną, co najwyżej skończenie wiele operacji Dehna na niej może dać arytmetyczną rozmaitość hiperboliczną.

Niezwykłe arytmetyczne hiperboliczne trzy rozmaitości

Rozmaitość Weeksa jest hiperboliczną potrójną rozmaitością o najmniejszej objętości, a rozmaitość Meyerhoffa to rozmaitość o następnej najmniejszej objętości.

Dopełnieniem w trójwymiarowej kuli węzła ósemkowego jest arytmetyczna hiperboliczna trójrozmaitość i osiąga najmniejszą objętość spośród wszystkich wierzchołkowych hiperbolicznych trójrozmaitości.

Przypuszczenia widma i Ramanujana

Przypuszczenie Ramanujana dotyczące form automorficznych na $, że dla$ pokrycia kongruencji arytmetycznej trójrozmaitości (wyprowadzonej z algebry kwaternionów operatora Laplace'a jest zawarty w ${\ Displaystyle [1, + \ infty )}$ .

Rozmaitości arytmetyczne w topologii trójwymiarowej

Wiele hipotez Thurstona (na przykład praktycznie hipoteza Hakena ), obecnie znanych jako prawdziwe po pracach Iana Agola , zostało najpierw sprawdzonych pod kątem rozmaitości arytmetycznych przy użyciu określonych metod. W niektórych przypadkach arytmetycznych hipoteza wirtualnego Hakena jest znana ogólnie, ale nie wiadomo, czy jej rozwiązanie można osiągnąć za pomocą środków czysto arytmetycznych (na przykład poprzez znalezienie podgrupy kongruencji z dodatnią pierwszą liczbą Bettiego).

Rozmaitości arytmetyczne można wykorzystać do podania przykładów rozmaitości o dużym promieniu iniekcji, których pierwsza liczba Bettiego znika.

William Thurston zauważył , że rozmaitości arytmetyczne „… często wydają się mieć szczególne piękno”. Można to uzasadnić wynikami pokazującymi, że związek między topologią a geometrią dla tych rozmaitości jest znacznie bardziej przewidywalny niż ogólnie. Na przykład:

• Dla danego rodzaju g istnieje co najwyżej skończenie wiele arytmetycznych (kongruencyjnych) hiperbolicznych 3-rozmaitości, które przecinają koło włóknem rodzaju g .
• Istnieje co najwyżej skończenie wiele arytmetycznych (kongruencyjnych) hiperbolicznych 3-rozmaitości z danym rodzajem Heegaarda.

Notatki

•    MacLachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), Arytmetyka hiperbolicznych 3-rozmaitości , Graduate Texts in Mathematics, tom. 219, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98386-8 , MR 1937957