Pole śledzenia reprezentacji

W matematyce pole śladu grupy liniowej to pole generowane przez ślady jego elementów. Jest badany głównie dla grup Kleinowskich i Fuchsowskich , chociaż obiekty pokrewne są używane w teorii sieci w grupach Liego , często pod nazwą pole definicji .

grupy fuchsowskie i kleinowskie

Pole śledzenia i niezmienne pola śledzenia dla grup fuchsowskich

Grupy Fuchsa to dyskretne podgrupy ${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$ . Ślad elementu w ${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$ jest dobrze zdefiniowany aż do znaku (biorąc ślad dowolnego przedobrazu w ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$ i pole śledzenia Γ $Displaystyle$$\ Gamma}$ to pole generowane przez ślady wszystkich elementów $)$ patrz na przykład w MacLachlan & Reid (2003 .

Niezmienne $indeksie$ śledzenia $jest$ równe polu śledzenia podgrupy generowanej przez wszystkie elementów ( ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ).

Niezmienne pole śladowe grup fuchsowskich jest stabilne przy współmiernych grupach. Inaczej jest w przypadku pola śledzenia; w szczególności pole śledzenia zasadniczo różni się od niezmiennego pola śledzenia.

Algebry kwaternionów dla grup Fuchsa

Niech będzie grupą Fuchsa $i$ polem $śledzenia$ Niech $będzie$ podalgebrą $)$ macierzowej generowanej przez przedobrazy elementów ${\ Displaystyle M_ {2} (\ mathbb {$$} \displaystyle \Gamma}$ . Algebra jest więc tak prosta, jak to tylko możliwe, a dokładniej: ZA $\ displaystyle A}$

Jeśli jest typu pierwszego lub drugiego, $to$ jest algebrą kwaternionów $}$ k $displaystyle k$ .

Algebra nazywana jest algebrą kwaternionów $displaystyle$$\ Gamma}$ . $}$ kwaternionów nazywana jest niezmienną algebrą kwaternionów oznaczoną przez $}$$\ Displaystyle \ Gamma ^ {$ ( Jeśli chodzi o pola śladowe, to pierwsze nie jest takie samo dla wszystkich grup w tej samej klasie współmierności, ale drugie jest.

Jeśli jest arytmetyczną grupą Fuchsa $są$ to i ${\ Displaystyle A \ Gamma$$}$ polem liczbowym i algebrą kwaternionów, z której grupa współmierna do $displaystyle \Gamma }$${\ Displaystyle \ Gamma$ można wyprowadzić.

grupy kleinowskie

Teoria $)$ Kleinowskich (dyskretnych podgrup teorii grup Jedna duża różnica polega na tym, że pole śledzenia grupy skończonych kowalumów jest zawsze polem liczbowym.

Pola śledzenia i pola definicji dla podgrup grup Liego

Definicja

Rozważając podgrupy ogólnych grup Liego (które niekoniecznie są zdefiniowane jako grupy macierzowe ) należy użyć liniowej reprezentacji grupy, aby pobrać ślady elementów. Najbardziej naturalna jest reprezentacja sprzężona . Okazuje się, że w zastosowaniach jest to lepsze, nawet w przypadku grup, które mają naturalną reprezentację liniową o niższych wymiarach (takich jak specjalne grupy liniowe ) ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (\ mathbb {R} )}$ ), aby zawsze definiować pole śledzenia przy użyciu sprzężonej reprezentacji. Mamy więc następującą definicję, pierwotnie za sprawą Ernesta Vinberga , który użył terminologii „pole definicji”.

Niech $będzie$ grupą $_$ _ Niech będzie sprzężoną reprezentacją sol . $\ displaystyle$$\ rho}$ . Pole śladu to $pole$

${\ Displaystyle k \ Gamma = \ mathbb {Q} (\ {\ operatorname {ślad} (\ rho (\ gamma)): \ gamma \ in \ Gamma \}).}$

Jeśli dwie gęste podgrupy $,$ to mają w tym sensie to samo pole śledzenia.

Pole śledzenia dla krat

Niech $będzie$ grupą Liego i $_$ _ _ _ Załóżmy ponadto, że albo $nieredukowalny$ i nie jest lokalnie izomorficzny z $) }$$Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R$ , lub że nie ma czynnika. ${\ displaystyle \ Gamma}$ lokalnie izomorficzny z ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$ . Wtedy lokalna sztywność implikuje następujący wynik.

Pole jest polem liczbowym. k $\ displaystyle k \ Gamma}$

Ponadto istnieje grupa algebraiczna nad taka, że ​​grupa punktów rzeczywistych $\ Displaystyle \ mathbf {$$}$$\ mathbb {G}$$displaystyle \ mathbf {G}$$)$ jest izomorficzny z i jest zawarty w koniugacie ${\ Displaystyle \ rho ($${\ Displaystyle \ mathbf {G} (k \ Gamma)}$ . Zatem jest to „pole definicji” dla $Gamma$$}$ w tym sensie, że jest to jego domknięcia Zariskiego w reprezentacji sprzężonej.

W przypadku, gdy jest $arytmetyczna,$ to jest współmierna do grupy arytmetycznej zdefiniowanej przez $\ displaystyle \ mathbf {G}}$ .

$zdefiniowane powyżej jest$ pole jego niezmiennemu polu śledzenia. Dla grup Kleinowskich są one takie same, jeśli użyjemy sprzężonej reprezentacji na liczbach zespolonych.

Notatki

•   Vinberg, Ernest (1971). „Pierścienie definicji gęstych podgrup półprostych grup liniowych”. Izw. Akad. Nauk SSSR Ser. Mata. (po rosyjsku). Tom. 35. s. 45–55. MR 0279206 .
• MacLachlan, Colin; Reid, Alan (2003). Arytmetyka hiperbolicznych 3-rozmaitości . Skoczek.
•    Margulis, Grigorij (1991). Dyskretne podgrupy półprostych grup Liego . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . ISBN 3-540-12179-X . MR 1090825 .