Arytmetyczna grupa fuchsowska

Arytmetyczne grupy fuchsowskie to specjalna klasa grup fuchsowskich skonstruowanych przy użyciu rzędów w algebrach kwaternionów . Są to szczególne przypadki grup arytmetycznych . Prototypowym przykładem arytmetycznej grupy fuchsowskiej jest grupa modułowa . $\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ { Oni i powierzchnia hiperboliczna związana z ich działaniem na płaszczyźnie hiperbolicznej często wykazują szczególnie regularne zachowanie wśród grup Fuchsa i powierzchni hiperbolicznych.

Definicja i przykłady

Algebry kwaternionów

Główny artykuł: algebra kwaternionów

Algebra kwaternionów nad $czterowymiarową$$centralną$ prostą -algebrą . $, i, j, ij}$${\ Displaystyle i ^ {2}, j ^ {2} \ w fa ^ {\ razy}}$ gdzie , ${\ Displaystyle ij = -ji}$ ja .

$, że algebra$ jest podzielona na, ${\ Displaystyle M_ {2} (F)$ jest izomorficzna jako -algebra z algebrą macierzy $fa$ .

σ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ sigma}$ osadzeniem w polu mi $E$$}$ będziemy oznaczać algebrą ZA otrzymane przez $sigma$${$ od do , $.$ postrzegamy jako $podpole$ mi $\ displaystyle$ }

Arytmetyczne grupy fuchsowskie

Mówi się, że $podgrupa$ wywodzi się algebry kwaternionów, pomocą następującej konstrukcji Niech $będzie$$rzeczywistym$ polem liczbowym i algebrą kwaternionów nad następujące $.$ Po pierwsze istnieje unikalne osadzenie $\ otimes _ {$ że jest takie $}$ podzielony na ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ; oznaczamy przez izomorfizm ${\ Displaystyle \ phi: A \ otimes _ {\ sigma} \ mathbb {R} \ do M_ {2} (\ mathbb {R})$ z -algebr ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ . Prosimy również, aby dla wszystkich innych osadzeń $algebra$$nie$ była podzielona (jest to równoważne kwaterniony Hamiltona ) . Następnie potrzebujemy zamówienia $.$$mathcal {O}}}$ \ w Niech będzie grupą elementów w zredukowanej $}$ 1 i niech będzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}$${1}$ jego obraz w ${\ Displaystyle M_ {2} (\ mathbb {R})}$ przez ${\ Displaystyle \ phi}$ . Wtedy obraz $}$ podgrupą (ponieważ norma algebry macierzowej $Gamma$$tylko$ rozważyć grupę Fuchsa, która jest

${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {R}).}$ mają skończoną kowalność dla miary Haara na Co więcej, powyższa konstrukcja daje podgrupę zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy algebra $displaystyle A}$ jest podzielona na $F}$${\$ . Dyskretność jest raczej bezpośrednią konsekwencją faktu, że $jest$ tylko na jednym rzeczywistym osadzeniu. Trudniej jest udowodnić skończoność covolume.

Arytmetyczna grupa Fuchsa $\ mathbb {R})},$ dowolna podgrupa z jest współmierna do pochodzącej z algebry kwaternionów $) }$ skończoną kowalność oznacza to, że w ).

Przykłady

Najprostszym przykładem arytmetycznej grupy fuchsowskiej jest $uzyskuje$ konstrukcję ${\ Displaystyle A = M_ {2} (\ mathbb {Q})}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = M_ {2} (\ mathbb {Z}).}$ Przyjmując zamówienia Eichlera w ${\ Displaystyle A}$ otrzymujemy podgrupy ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0 } (N)}$ dla indeksu skończonego w ${\ Displaystyle N \ geqslant 2},$ który może ${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ być wyraźnie napisane w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ Gamma _ {0} (N) = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ w \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {Z} ):c=0{\pmod {N}}\right\}.}$

Oczywiście arytmetyka takich podgrup wynika z faktu, że mają one indeks skończony w grupie arytmetycznej ${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ ; należą do bardziej ogólnej klasy podgrup o skończonym indeksie, podgrup kongruencji.

Dowolny porządek w algebrze kwaternionów nad , który nie jest podzielony na ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}},$$ale$ dzieli się na $},$ daje kokompaktowy arytmetyczny fuchsowski Grupa. Takich algebr jest pod dostatkiem.

$podgrupami$ ogólnie, wszystkie rzędy w algebrach kwaternionów (spełniające powyższe warunki), współzwartymi Kolejny szczególnie interesujący przykład uzyskuje się, $czwartorzędy$ za Hurwitza .

Maksymalne podgrupy

Naturalnym pytaniem jest zidentyfikowanie tych spośród arytmetycznych grup fuchsowskich, które nie są ściśle zawarte w większej dyskretnej podgrupie. Nazywa się je maksymalnymi grupami Kleinowskimi i możliwe jest podanie pełnej klasyfikacji w danej klasie współmierności arytmetycznej. Zauważ, że twierdzenie Margulisa implikuje, że krata w $jest$ do nieskończenie maksymalne grupy Kleinowskie.

Podgrupy kongruencji

Główna podgrupa kongruencji jest podgrupą postaci: ${\ Displaystyle \ Gamma = \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

${\ Displaystyle \ Gamma (N) = \ left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d=1{\pmod {N}} ,\,b,c=0{\pmod {N}}\right\}}$

dla niektórych $Displaystyle N \$ normalne podgrupy o skończonym indeksie, a iloraz jest ze skończoną grupą ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}).}$$1.$ Podgrupa kongruencji jest z definicji podgrupą zawierającą główną podgrupę kongruencji ${\ Displaystyle \ Gamma} (są to grupy, które są definiowane przez$$wzięcie$ macierzy w które spełniają pewne kongruencje modulo na liczbę całkowitą, stąd nazwa).

$Warto$ nie wszystkie podgrupy o skończonym . Dobrym sposobem, aby to zobaczyć, jest zaobserwowanie, że ma $podgrupy,$ które nakładają się $A_ {n}}$ dla dowolnego ${\ Displaystyle n,} a ponieważ$${\ displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z})}$ dużej grupa $A_ {n}}$$Displaystyle$ nie jest podgrupą dla dowolnych podgrup ${\ displaystyle N}$ te podgrupy nie mogą być podgrupami kongruencji. $w$ wiele więcej niekongruencji niż podgrup kongruencji

Pojęcie podgrupy kongruencji uogólnia się na kokompaktowe arytmetyczne grupy fuchsowskie, a powyższe wyniki mają również zastosowanie w tym ogólnym ustawieniu.

Konstrukcja za pomocą form kwadratowych

$\mathrm {SO} (2,1)}$ izomorfizm $)$ składnikiem $grupy$ ortogonalnej dany przez działanie pierwszego przez koniugację na przestrzeń macierzy śladu zero, na której wyznacznik indukuje strukturę rzeczywistej kwadratowej przestrzeni sygnatury (2,1). Arytmetyczne grupy fuchsowskie można konstruować bezpośrednio w tej drugiej grupie, biorąc punkty całkowe w grupie ortogonalnej związanej z formami kwadratowymi zdefiniowanymi na polach liczbowych (i spełniających określone warunki).

W tej korespondencji grupa modułowa jest powiązana aż do współmierności z grupą ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (2,1) (\ mathbb {Z}).}$

Arytmetyczne grupy Kleinowskie

Główny artykuł: arytmetyczna hiperboliczna 3-rozmaitość

$mathbb$ konstrukcję można dostosować, aby uzyskać podgrupy w : zamiast prosić o to, aby P ${C})}$ całkowicie realne i podzielone na dokładnie jedno rzeczywiste osadzenie, prosi się $o$ dokładnie jedno złożone osadzenie aż do złożonej koniugacji, przy której $jest$ dzielone i $\ displaystyle A}$ że nie jest podzielony przy żadnym osadzeniu $R {\ displaystyle$$\ hookrightarrow \ mathbb {R}$ } Podgrupy współmierne do tych uzyskanych za $.$ konstrukcji Podobnie jak w przypadku Fuchsa, arytmetyczne grupy Kleinowskie są dyskretnymi podgrupami o skończonej kowalności.

Pola śledzenia arytmetycznych grup fuchsowskich

Niezmienne pole śladowe grupy Fuchsa (lub, poprzez monodromiczny obraz grupy podstawowej, powierzchni hiperbolicznej) jest polem generowanym przez ślady kwadratów jej elementów. W przypadku powierzchni arytmetycznej, której grupa podstawowa jest współmierna z grupą Fuchsa wyprowadzoną z algebry kwaternionów na polu liczbowym, $displaystyle$ pole śladu jest równe $F}$ .

W rzeczywistości można scharakteryzować rozmaitości arytmetyczne na podstawie śladów elementów ich grupy podstawowej, co jest wynikiem znanym jako kryterium Takeuchiego. Grupa Fuchsa jest grupą arytmetyczną wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące trzy warunki:

• Jego niezmienne pole śledzenia jest całkowicie rzeczywistym polem liczbowym; ${\ displaystyle F}$
• Ślady jego elementów są algebraicznymi liczbami całkowitymi ;
• Istnieje $grupy$$takie$${\ Displaystyle t = \ operatorname {Ślad} (\ gamma ^ {2})}$ że w i dla każdego innego osadzania ${\ Displaystyle \ sigma \ neq \ sigma ': F \ do \ mathbb {R } }$ mamy ${\ Displaystyle | \ sigma '(t) | \ leqslant 2}$ .

Geometria arytmetycznych powierzchni hiperbolicznych

Grupa Liego $H.$ płaszczyzny hiperbolicznej $H} ^{2}}$ . $R$ więc, jeśli jest dyskretną podgrupą ${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})},$ Γ $\ Displaystyle \ Gamma}$ działa prawidłowo w sposób nieciągły na ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$ . Jeśli ponadto $działanie$ wolny od skręcania, to $jest$ swobodne a przestrzeń ilorazowa ( a rozmaitość) z metryką hiperboliczną (Riemannowska metryka stałej krzywizny przekroju -1). Jeśli $Fuchsa, taka powierzchnia$ arytmetyczną grupą nazywana jest arytmetyczną powierzchnią hiperboliczną $($ nie mylić z powierzchniami arytmetycznymi z geometrii arytmetycznej; jednak gdy kontekst jest jasny, „hiperboliczny " można pominąć specyfikator). Ponieważ arytmetyczne grupy fuchsowskie mają skończoną kowalność, arytmetyczne powierzchnie hiperboliczne zawsze mają skończoną objętość riemannowską (tj. całka po $jest$ objętości skończona ).

Formuła objętości i skończoność

Możliwe jest podanie wzoru na objętość wyróżnionych powierzchni arytmetycznych z danych arytmetycznych, z których została zbudowana. Niech będzie maksymalnym rzędem w algebrze kwaternionów dyskryminatora $O$ polem, niech $\ Displaystyle$${$${$ displaystyle } $]}$$\ zeta _ {F} }$ } będzie jego stopniem, jego $Displaystyle$ i jego funkcja zeta Dedekinda . Niech będzie grupą arytmetyczną uzyskaną z ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ mathcal {O}} \ setminus \ mathbb {H} ^ {2}}$ procedury i Orbifold ${\ Displaystyle \$$Gamma _$ \ $}$ . Jego objętość oblicza się ze wzoru

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tom} (S) = {\ Frac {2| D_ {F} | ^ {\ Frac {3} {2}} \ cdot \ zeta _ {F} (2)} {(2 \ pi )^{2r-2}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}\mid D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1);}$

produkt zostaje przejęty przez główne ideały podziału $})}$$\ Displaystyle (D_ {$ i przypominamy sobie, że N $(\ cdot)}$ jest funkcją normatywną na ideałach, tj $.$ jest licznością skończonego pierścienia $}}}$$\ Displaystyle O_ {F} / {\$ ). Czytelnik może sprawdzić, czy jeśli $wynik$ znany wynik objętość powierzchni modułowej jest równa ${\ displaystyle \ pi / 3}$ .

W połączeniu z opisem podgrup maksymalnych i wynikami skończoności dla pól liczbowych wzór ten pozwala udowodnić następujące stwierdzenie:

Biorąc pod uwagę dowolną $niż$$istnieje$ wiele powierzchni arytmetycznych, których objętość jest mniejsza .

Zauważ, że w wymiarach czterech i więcej twierdzenie Wanga o skończoności (konsekwencja lokalnej sztywności ) potwierdza, że ​​to stwierdzenie pozostaje prawdziwe, zastępując „arytmetykę” przez „skończoną objętość”. Asymptotyczny odpowiednik liczby, jeśli rozmaitości arytmetyczne o określonej objętości dał Biełolipetski — Gelander — Lubocki — Mozes .

Minimalna głośność

Główny artykuł: powierzchnia Hurwitza

$objętości$ można uzyskać jako powierzchnię związaną z określonym rzędem, rzędem kwaternionów Hurwitza i jest ona zwarta .

Geodezja zamknięta i promienie iniekcji

Zamknięta geodezja na rozmaitości Riemanna to zamknięta krzywa , która jest również geodezyjna . Zbiór takich krzywych można skutecznie opisać na powierzchni arytmetycznej lub trójrozmaitości: odpowiadają one pewnym jednostkom w pewnych kwadratowych przedłużeniach pola podstawowego (opis jest obszerny i nie będzie tu podawany w całości). Na przykład długość pierwotnej geodezji zamkniętej na powierzchni modułowej odpowiada wartości bezwzględnej jednostek normy jeden w rzeczywistych polach kwadratowych. Opis ten został wykorzystany przez Sarnaka do ustalenia przypuszczenia Gaussa na temat średniego rzędu grup klas rzeczywistych pól kwadratowych.

Powierzchnie arytmetyczne mogą być używane do konstruowania rodzin powierzchni rodzaju $}$ dowolnych ${\ displaystyle g$ które spełniają (optymalną, aż do stałej) nierówność skurczową sol

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {sys} (S) \ geqslant {\ Frac {4} {3}} \ log g.}$

Widma arytmetycznych powierzchni hiperbolicznych

Wartości własne i funkcje własne Laplace'a

Główny artykuł: Geometria widmowa

Jeśli jest powierzchnią $hiperboliczną,$ to istnieje wyróżniony operator $funkcjach$ gładkich na S $displaystyle S}$ . W przypadku, gdy $zwarty,$ rozciąga się na nieograniczony , zasadniczo samosprzężony operator w przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych na ${\ Displaystyle L ^ {2} (S)}$${\ displaystyle S}$ . $_ , \ ldots}$ ​​istnieje ortonormalna funkcji własnych dla ${\ Displaystyle \ Delta}$ . Powiązane wartości własne $zachowanie$ i rządzi się prawem Weyla .

W przypadku, gdy jest arytmetyczne $, te funkcje własne$ typem form automorficznych dla Maass $Gamma}$ formy . Wartości własne $są$$\ displaystyle \ phi _ {n}}$ , a także dystrybucji i zbiorów węzłowych Δ .

Przypadek, w którym $objętość,$ jest bardziej skomplikowany, ale podobną teorię można ustalić za pomocą pojęcia formy wierzchołkowej .

przypuszczenie Selberga

Główny artykuł: przypuszczenie 1/4 Selberga

Widmowa przerwa powierzchni jest z definicji przerwą między najmniejszą wartością własną a drugą najmniejszą wartością własną ${\ Displaystyle \ lambda _ {0} = 0}$$\ lambda _ { 1}>0}$$Displaystyle$ ; zatem jego wartość jest równa ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} (S).}$ oznaczać przez $\ Displaystyle \ lambda _ {1}$ Ogólnie rzecz biorąc, można go uczynić dowolnie małym (ref Randol) (jednak ma dodatnią dolną granicę dla powierzchni o stałej objętości). Hipoteza Selberga to następujące stwierdzenie zapewniające domniemaną jednolitą dolną granicę w przypadku arytmetycznym:

Γ $} _ {2} (\ mathbb {R})}$$\ Gamma \ subset \ operatorname {$ jest kratą wywodzącą się z algebry $Gamma '}$ jest podgrupą kongruencji bez skrętu $a$ następnie dla my $\ Displaystyle S = \ Gamma '\ setminus \ mathbb {H} ^ {2}$ } mieć ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} (S) \ geqslant {\ tfrac {1} {4}}.}$

Zauważ, że stwierdzenie jest ważne tylko dla podklasy powierzchni arytmetycznych i może być postrzegane jako fałszywe dla ogólnych podgrup o skończonym indeksie w kratach wyprowadzonych z algebr kwaternionów. Oryginalne stwierdzenie Selberga dotyczyło tylko pokrycia kongruencji powierzchni modułowej i zostało zweryfikowane dla kilku małych grup. Sam Selberg udowodnił dolną granicę $jako$ Selberga 1/16 Najbardziej znany wynik w pełnej ogólności pochodzi od Luo – Rudnicka – Sarnaka.

Jednorodność przerwy widmowej ma implikacje dla konstruowania grafów ekspandera jako grafów Schreiera dla ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}).}$

Relacje z geometrią

Główny artykuł: wzór śladu Selberga

Główny artykuł: stała Cheegera

Wzór śladu Selberga pokazuje, że dla hiperbolicznej powierzchni o skończonej objętości jest równoważne znajomości widma długości (zbiór długości wszystkich zamkniętych geodezji na $,$ krotnościami) i widma ${\ displaystyle \ Delta }$ . Jednak dokładny związek nie jest wyraźny.

Inną zależność między widmem a geometrią podaje nierówność Cheegera , która w przypadku powierzchni stwierdza z grubsza, że ​​dodatnia dolna granica szczeliny widmowej $displaystyle$ się na dodatnią dolną granicę dla $S}$ całkowita długość zbioru gładkich zamkniętych krzywych oddzielających $dwa$ połączone elementy.

Ergodyczność kwantowa

Główny artykuł: Ergodyczność kwantowa

Twierdzenie o ergodyczności kwantowej Shnirelmana, Colina de Verdière'a i Zelditcha stwierdza, że ​​​​średnio funkcje własne rozkładają się równo na ${\ displaystyle S}$ . Wyjątkowa hipoteza ergodyczności kwantowej Rudnicka i Sarnaka stawia pytanie, czy silniejsze stwierdzenie, że poszczególne funkcje własne mają równy rozkład, jest prawdziwe. Formalnie oświadczenie jest następujące.

Niech powierzchnią arytmetyczną i sekwencją funkcji na $\$$taką$$Displaystyle S}$ , że

${\ Displaystyle \ Delta \ phi _ {j} = \ lambda _ {j} \ phi _ {j}, \ qquad \ int _ {S} \ phi _ {j} ( x) ^ {2} \, dx = 1.}$

${\ Displaystyle \ lim _ {j \ do \ infty} \ lewo (\ int _ {S} \ psi (x) \ phi _ {j} (x) ^ {2} \, dx \ prawej) = \ int _ {S}\psi (x)\,dx.}$

dla dowolnej gładkiej, zwięźle obsługiwanej funkcji na $S}$$displaystyle$ mamy

$są$ przypuszczenie zostało udowodnione przez E. Lindenstraussa w przypadku, gdy jest $zwarty$ , a dodatkowo funkcjami własnymi dla operatorów Hecke na $S}$ . W przypadku kongruencji okładek modułowych pojawiają się dodatkowe trudności, z którymi poradził sobie K. Soundararajan.

Powierzchnie izospektralne

Główny artykuł: izospektralny

$został$ operatora Laplace'a, wskazany przez MF Vignéras i wykorzystany przez nią do skonstruowania przykładów izospektralnych zwartych powierzchni hiperbolicznych. Dokładne stwierdzenie brzmi następująco:

Jeśli $jest$ algebrą kwaternionów, to $są$ maksymalne rzędy $} \ Displaystyle A}$ i powiązane grupy Fuchsa $S_{i}=\Gamma _{i}\setminus \mathbb {H} ^{2}}$$Γ$ a następnie powierzchnie hiperboliczne $\ Displaystyle$ mają to samo widmo Laplace'a.

$następnie$ jawne instancje dla warunki i dodatek nie jest sprzężony przez element z $}$${\ Displaystyle A$ do $Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {1}}$ . Powstałe izospektralne powierzchnie hiperboliczne nie są zatem izometryczne.

Notatki

• Katok, Swietłana (1992). grupy fuksjowe . Uniw. prasy chicagowskiej.