Rozmaitość Nehariego

Odmiana Nehari

W rachunku wariacyjnym , gałęzi matematyki , rozmaitość Nehariego jest rozmaitością funkcji, których definicja jest motywowana pracą Zeeva Nehari ( 1960 , 1961 ). Jest to rozmaitość różniczkowalna związana z problemem Dirichleta dla półliniowego eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego

${\ Displaystyle - \ trójkąt u = | u | ^ {p-1} u, {\ tekst {z}} u \ środkowy _ {\ częściowy \ Omega} = 0.}$

Tutaj Δ jest Laplacianem na ograniczonej domenie Ω w R ⁿ .

Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego problemu. Rozwiązania są właśnie punktami krytycznymi dla funkcjonału energetycznego

${\ Displaystyle J (v) = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} {|\ nabla v | ^ {2} \ d \ mu} - {\ frac {1}{p+1}}\int _{\Omega}{|v|^{p+1}\,d\mu }}$

na przestrzeni Sobolewa H ¹
₀ (Ω) . Rozmaitość Nehariego jest zdefiniowana jako zbiór v ∈ H ¹
₀ (Ω) taki, że

${\ Displaystyle \ | \ nabla v \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} ^ {2}=\|v\|_{L^{p+1}(\Omega)}^{p+1}>0.}$

Rozwiązania pierwotnego problemu wariacyjnego, które leżą w rozmaitości Nehariego, są (ograniczonymi) minimalizatorami energii, a zatem można zastosować bezpośrednie metody rachunku wariacyjnego .

Mówiąc bardziej ogólnie, mając odpowiedni funkcjonał J , powiązana rozmaitość Nehariego jest zdefiniowana jako zbiór funkcji u w odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej, dla której

${\ Displaystyle \ langle J' (u), u \ rangle = 0.}$

Tutaj J ′ jest funkcjonalną pochodną J .

• A. Bahri i PL Lions (1988), Morse Index of Some Min-Max Critical Points. I. Zastosowania wyników wielokrotności. Komunikaty dotyczące matematyki czystej i stosowanej . (XLI) 1027–1037.
•     Nehari, Zeev (1960), „O klasie nieliniowych równań różniczkowych drugiego rzędu”, Transactions of the American Mathematical Society , 95 (1): 101–123, doi : 10.2307/1993333 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993333 , MR 0111898
•    Nehari, Zeev (1961), „Wartości charakterystyczne związane z klasą nieliniowych równań różniczkowych drugiego rzędu”, Acta Mathematica , 105 (3–4): 141–175, doi : 10.1007 / BF02559588 , ISSN 0001-5962 , MR 0123775
•    Willem, Michel (1996), Minimax twierdzenia , Postęp w nieliniowych równaniach różniczkowych i ich zastosowaniach , 24, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3913-6 , MR 1400007