Rozwiązanie narożne
W matematyce i ekonomii rozwiązanie narożne to specjalne rozwiązanie problemu maksymalizacji agenta , w którym ilość jednego z argumentów funkcji zmaksymalizowanej wynosi zero . W kategoriach nietechnicznych rozwiązanie narożne ma miejsce, gdy osoba dokonująca wyboru nie chce lub nie może dokonać wymiany między towarami.
w ekonomii
W kontekście ekonomii rozwiązanie kątowe najlepiej charakteryzuje się tym, że najwyższa osiągalna krzywa obojętności nie jest styczna do linii budżetowej , w tym scenariuszu konsument przeznacza cały swój budżet na zakup jak największej ilości jednego dobra i żadnego z Inny. Gdy nachylenie krzywej obojętności jest większe niż nachylenie linii budżetowej, konsument jest skłonny zrezygnować z większej ilości dobra 1 za jednostkę dobra 2, niż wymaga tego rynek. Wynika z tego, że jeśli nachylenie krzywej obojętności jest ściśle większe niż nachylenie linii budżetowej:
Wtedy wynikiem będzie rozwiązanie narożne przecinające oś x. Odwrotna sytuacja dotyczy również rozwiązania narożnego wynikającego z przecięcia przez oś y.
Kilka przykładów
Prawdziwe przykłady rozwiązania narożnego pojawiają się, gdy ktoś mówi: „Nie kupiłbym tego za żadną cenę”, „Dlaczego miałbym kupować X, skoro Y jest tańsze” lub „Zrobię X bez względu na koszty”, może to być dla z wielu powodów np. złe doświadczenie z marką, lojalność wobec konkretnej marki/towaru lub gdy istnieje tańsza wersja tego samego towaru. Innym przykładem jest polityka „zero tolerancji” lub rodzice, którzy nie chcą narażać swoich dzieci na jakiekolwiek ryzyko, bez względu na to, jak małe i bez względu na korzyści płynące z tej aktywności. „Nic nie jest ważniejsze niż bezpieczeństwo mojego dziecka” to rozwiązanie narożne w odmowie przyznania się do kompromisów. Termin „rozwiązanie narożne” jest czasami używany przez ekonomistów w bardziej potoczny sposób w odniesieniu do tego rodzaju sytuacji. Inną sytuacją, w której może pojawić się rozwiązanie narożne, jest sytuacja, w której dwa towary, o których mowa, są doskonałymi substytutami. Słowo „róg” odnosi się do faktu, że jeśli wykreśli się problem maksymalizacji, optymalny punkt pojawi się w „rogu” utworzonym przez ograniczenie budżetowe i jedną oś.
W matematyce
Rozwiązanie narożne to przypadek, w którym „najlepsze” rozwiązanie (tj. maksymalizacja zysku, użyteczności lub dowolnej poszukiwanej wartości) jest osiągane nie w oparciu o efektywną rynkowo maksymalizację powiązanych wielkości, ale raczej w oparciu o brutalne warunki brzegowe. Takiemu rozwiązaniu brakuje matematycznej elegancji , a większość przykładów charakteryzuje się warunkami wymuszonymi z zewnątrz (takimi jak „zmienne x i y nie mogą być ujemne”), które stawiają rzeczywiste ekstrema lokalne poza dopuszczalnymi wartościami.
Innym technicznym sposobem stwierdzenia jest to, że rozwiązanie narożne to rozwiązanie problemu minimalizacji lub maksymalizacji, w którym rozwiązanie inne niż narożne jest niewykonalne, to znaczy nie w domenie. Zamiast tego rozwiązaniem jest rozwiązanie narożne na osi, gdzie x lub y jest równe zeru. Na przykład z powyższego przykładu z ekonomii, jeśli maksymalna użyteczność dwóch towarów jest osiągnięta, gdy ilość towarów x i y wynoszą (-2, 5), a użyteczność podlega ograniczeniu x i y są większe niż lub równe 0 (nie można skonsumować ujemnej ilości dóbr), jak to zwykle bywa, to rzeczywistym rozwiązaniem problemu byłoby rozwiązanie narożnikowe, gdzie x = 0.
W teorii konsumenta
Bardziej typowym rozwiązaniem będzie niezerowe wnętrze w punkcie styczności między funkcją celu a ograniczeniem. Na przykład w teorii konsumenta funkcją celu jest mapa krzywej obojętności ( funkcja użyteczności ) konsumenta. Linia budżetowa jest ograniczeniem. W zwykłym przypadku ograniczona użyteczność jest maksymalizowana przy ograniczeniu budżetowym przy ściśle dodatnich ilościach konsumowanych obu dóbr. Jednak w przypadku rozwiązania narożnego użyteczność jest maksymalizowana w punkcie na jednej osi, w którym ograniczenie budżetowe przecina najwyższą możliwą do osiągnięcia krzywą obojętności przy zerowej konsumpcji jednego dobra z całym dochodem wykorzystanym na drugie dobro. Co więcej, zakres niższych cen dobra przy początkowej zerowej konsumpcji może pozostawić wielkość popytu niezmienioną na poziomie zerowym, zamiast zwiększać ją, jak w bardziej typowym przypadku.
Jak znaleźć rozwiązanie narożne
Graficznie
Aby graficznie znaleźć rozwiązanie narożne, należy przesunąć krzywą obojętności w kierunku zwiększającym użyteczność. Jeśli punkt styczności zostanie osiągnięty między krzywą obojętności a linią budżetu, to nie masz rozwiązania narożnego, jest to rozwiązanie wewnętrzne. Jeśli nie znajdziesz punktu styczności w domenie to krzywa maksymalizująca obojętność użyteczności dla danego ograniczenia budżetowego będzie na przecięciu między osią x lub y (w zależności od tego czy nachylenie krzywej obojętności jest dokładnie większe czy mniejsze niż nachylenie ograniczenia budżetowego) – jest to rozwiązanie narożne.
Matematycznie
Aby matematycznie rozwiązać rozwiązanie narożne, należy zastosować metodę Lagrange'a z ograniczeniami nieujemności x ≥ 0 i y ≥ 0.