Twierdzenie Saint-Venanta

W mechanice ciał stałych często analizuje się właściwości belek o stałym przekroju poprzecznym. Twierdzenie Saint-Venanta stwierdza, że ​​​​prosto połączony przekrój z maksymalną sztywnością skrętną jest kołem. Jej nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Adhémara Jeana Claude'a Barré de Saint-Venanta .

Biorąc pod uwagę prosto połączoną dziedzinę D w płaszczyźnie o obszarze A , $\ rho$ i obszarze największego wpisanego okręgu, sztywność skrętna $P$ od D jest określona przez σ {\ displaystyle

${\ Displaystyle P = 4 \ sup _ {f} {\ Frac {\ lewo (\ iint \ ograniczenia _ {D} f \, dx \, dy \ prawo) ^ {2}} {\ iint \ ograniczenia _ {D }{f_{x}}^{2}+{f_{y}}^{2}\,dx\,dy}}.}$

Tutaj supremum przejmuje wszystkie funkcje różniczkowalne w sposób ciągły znikające na granicy D . Istnienie tego supremum jest konsekwencją nierówności Poincarégo .

Saint-Venant przypuszczał w 1856 r., że ze wszystkich domen D o równej powierzchni A kołowa ma największą sztywność skrętną, to znaczy

${\ Displaystyle P \ równoważnik P _ {\ tekst {koło}} \ równoważnik {\ Frac {A ^ {2}} {2 \ pi}}.}$

Rygorystyczny dowód tej nierówności został podany dopiero w 1948 roku przez Pólyę . Inny dowód został podany przez Davenporta i zgłoszony w. Bardziej ogólny dowód i oszacowanie

${\ Displaystyle P <4 \ rho ^ {2} A}$

podaje Makai.