Samopodwójna akcja Palatiniego

Zmienne asztekarskie , które były nowym kanonicznym formalizmem ogólnej teorii względności , wzbudziły nowe nadzieje na kanoniczną kwantyzację ogólnej teorii względności i ostatecznie doprowadziły do ​​pętli grawitacji kwantowej . Smolin i inni niezależnie odkryli, że w rzeczywistości istnieje lagrange'owskie sformułowanie teorii, biorąc pod uwagę samodualne sformułowanie ogólnej teorii względności Tetradic Palatiniego . Dowody te zostały podane w postaci spinorów. Czysto tensoryczny dowód nowych zmiennych w postaci triad został podany przez Goldberga, a w postaci tetrad przez Henneaux i in.

Akcja Palatiniego

Główne artykuły: działanie Einsteina-Hilberta , pola ramowe w ogólnej teorii względności , połączenie spinowe i działanie Tetradic Palatiniego

Działanie Palatiniego dla ogólnej teorii względności ma jako zmienne niezależne tetradę $alfa}} ^ {IJ}}$ połączenie spinowe . $\ Displaystyle e_ {I} ^$ . Znacznie więcej szczegółów i wyprowadzeń można znaleźć w artykule Tetradic Akcja Palatiniego . Połączenie spinowe definiuje kowariantną pochodną ${\ displaystyle D _ {\ alfa}}$ . Metryka czasoprzestrzenna jest odzyskiwana z tetrady za pomocą wzoru ${\ Displaystyle g _ {\ alfa \ beta} = e _ {\ alfa} ^ {I} e_ {\ beta} ^ {J} \ eta _ {IJ}.} „Krzywiznę” definiujemy$ przez

${\ Displaystyle {\ Omega _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ} = \ częściowe _ {\ alfa} {\ omega _ {\ beta}} ^ {IJ} - \ częściowe _ {\ beta} {\ omega _{\alfa}}^{IJ}+\omega _{\alfa}^{IK}{\omega _{\beta K}}^{J}-\omega _{\beta}^{IK}{\ omega _{\alfa K}}^{J}\qquad Eq.1.}$

Skalar Ricciego tej krzywizny jest określony przez $\ Displaystyle e_ {I} ^ {\ alfa} e_ {J} ^ {\ beta} {\ Omega _ {\ alfa \ beta }}^{IJ}}$ . Akcja Palatiniego dla ogólnej teorii względności brzmi

$\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x \; e \; e_ {ja} ^ {\ alfa} e_ { J}^{\beta}\;{\Omega _{\alfa \beta}}^{IJ}[\omega]}$

gdzie ${\ Displaystyle e = {\ sqrt {-g}}}$ . $displaystyle D_ { \ alfa} e_ {I} ^ {\ beta} = 0}$ w odniesieniu do połączenia spinowego $,$ że połączenie spinowe jest określone przez warunek zgodności i stąd staje się zwykłą pochodną kowariantną ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ alfa}}$ . Stąd połączenie staje $} R _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ}}$ funkcją tetrad, a krzywizna krzywiznę ${\ Displaystyle {\ Omega _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ$ z ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ alfa}}$ . $jot {\ Displaystyle e_ {ja} ^ {\ alfa} e_ {J} ^ {\ beta} {R _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ$ ja jest rzeczywistym skalarem Ricciego . ${\ displaystyle R}$ . Wariacja względem tetrady daje równanie Einsteina

${\ Displaystyle R _ {\ alfa \ beta} - {1 \ ponad 2} g _ {\ alfa \ beta} R = 0.}$

Zmienne samodualne

(Anty-)samodualne części tensora

Będziemy potrzebować tak zwanego tensora całkowicie antysymetrycznego lub symbolu Levi-Civita ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {$ jest +1 lub -1 w zależności od tego, czy $} \displaystyle IJKL} jest odpowiednio$$nieparzystą$ permutacją i zerem, jeśli dowolne dwa indeksy mają tę samą wartość. Wewnętrzne wskaźniki ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {IJKL}}$ są podnoszone za pomocą metryki Minkowskiego ${\ displaystyle \ eta ^ {IJ}}$ .

Teraz, biorąc pod uwagę dowolny tensor antysymetryczny , definiujemy jego podwójny jako ${\ displaystyle T ^ {IJ}}$

${\ Displaystyle * T ^ {IJ} = {1 \ ponad 2} {\ varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL}.}$

Samodualna część dowolnego tensora jest zdefiniowana jako ${\ displaystyle T ^ {IJ}}$

${\ Displaystyle {} ^ {+} T ^ {IJ}: = {1 \ ponad 2} \ lewo (T ^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

z częścią anty-jaźń zdefiniowaną jako

${\ Displaystyle {} ^ {-} T ^ {IJ}: = {1 \ ponad 2} \ lewo (T ^{IJ}+{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

(wygląd jednostki urojonej $,$ powiązany z podpisem Minkowskiego jak zobaczymy poniżej).

Rozkład tensorowy

Teraz, biorąc pod uwagę dowolny tensor antysymetryczny , możemy go rozłożyć jako ${\ displaystyle T ^ {IJ}}$

${\ Displaystyle T ^ {IJ} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (T ^ {IJ} - {\ Frac {i} {2}}} {\ varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T^{KL}\right)+{\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}+{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ} T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}+{}^{-}T^{IJ}}$

gdzie ${\ Displaystyle {} ^ {+} T ^ {IJ}}$ i ${\ Displaystyle {} ^ {-} T ^ {IJ}}$ są samodualne i anty-jaźń odpowiednio podwójne części ${\ displaystyle T ^ {IJ}}$ . Zdefiniuj projektor na (anty-)samo-dualną część dowolnego tensora jako

${\ Displaystyle P ^ {(\ pm)} = {1 \ ponad 2} (1 \ mp i *).}$

Znaczenie tych projektorów można wyjaśnić. Skoncentrujmy się na , $}$ }

${\ Displaystyle \ lewo (P ^ {+} T \ prawo) ^ {IJ} = \ lewo ({1 \ ponad 2} (1-i *) T \ prawo) ^ {IJ} = {1 \ ponad 2} \left({\delta ^{I}}_{K}{\delta ^{J}}_{L}-i{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\right) T^{KL}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={} ^{+}T^{IJ}.}$

Następnie

${\ Displaystyle {} ^ {\ pm} T ^ {IJ} = \ lewo (P ^ {(\ pm)} T \ prawo) ^ {IJ}.}$

Wspornik kłamstwa

Ważnym obiektem jest nawias Liego zdefiniowany przez

${\ Displaystyle [F, G] ^ {IJ}: = F ^ {IK} {G_ {K}} ^ { J}-G^{IK}{F_{K}}^{J},}$

pojawia się w tensorze krzywizny (patrz dwa ostatnie wyrazy równania 1), określa również strukturę algebraiczną. Mamy wyniki (udowodnione poniżej):

${\ Displaystyle P ^ {(\ pm)} [F, G] ^ {IJ} = \ lewo [P ^ {(\ pm)} F, G \ prawo] ^ {IJ} = \ lewo [F, P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}\qquad Równ. 2}$

I

${\ Displaystyle [F, G] = \ lewo [P ^ {+} F, P ^ {+} G \ prawo] + \ lewo [P ^ {-} F, P ^ {-} G \ prawo].}$

To jest nawias Liego, który definiuje algebrę, rozkłada się na dwie oddzielne niezależne części. Piszemy

${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (1,3) _ {\ mathbb {C} }={\mathfrak {tak}}(1,3)_{\mathbb {C}}^{+}+{\mathfrak {tak}}(1,3)_{\mathbb {C}}^{- }}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (1,3) _ {\ mathbb {C}} ^ {\ pm}}$ zawiera tylko samo-dwoistość (anty-jaźń- ${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (1,3) _ {\ mathbb {C}}.}$ ) elementy

Akcja Self-dual Palatini

$IJ }}$ samopodwójną część połączenia , α ${A_ {\ alfa}} ^ {IJ}$ jako

$\ Displaystyle {A_ {\ alfa}} ^ {IJ} = {1 \ ponad 2} \ lewo ( {\omega _{\alpha}}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\omega _{\alpha}}^{KL}\right),}$

co można zapisać bardziej zwięźle

${\ Displaystyle {A _ {\ alfa}} ^ {IJ} = \ lewo (P ^ {+} \ omega _ {\ alfa} \ prawo) ^ {IJ}.}$

Zdefiniuj jako krzywiznę samodualnego połączenia $\ Displaystyle {F _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ}}$

${\ Displaystyle {F _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ} = \ częściowe _ {\ alfa} {A_ {\ beta}} ^ {IJ} - \ częściowe _ {\ beta} {A_ {\ alfa}} ^{IJ}+{A_{\alfa}}^{IK}{A_{\beta K}}^{J}-{A_{\beta}}^{IK}{A_{\alfa K}}^{ J}.}$

Korzystanie z równania 2 łatwo zauważyć, że krzywizna samodualnego połączenia jest samodualną częścią krzywizny połączenia,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {F _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ} & = \ częściowe _ {\ alfa} \ lewo (P ^ {+} \ omega _ {\ beta} \ prawej) ^ {IJ}-\częściowa _{\beta}\left(P^{+}\omega _{\alpha}\right)^{IJ}+\left[P^{+}\omega _{\alpha}, P^{+}\omega _{\beta }\right]^{IJ}\\&=\left(P^{+}2\częściowa _{[\alpha }\omega _{\beta ]}\right )^{IJ}+\left(P^{+}[\omega _{\alpha},\omega _{\beta }]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{+} \Omega _{\alpha \beta}\right)^{IJ}\end{wyrównane}}}$

Samopodwójne działanie jest

${\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x \; e \; e_ {ja} ^ {\ alfa} e_ {J} ^ {\ beta} \; {F _ {\ alfa \ beta}} ^ {IJ }.}$

Ponieważ związek jest złożony, mamy do czynienia ze złożoną ogólną teorią względności i należy określić odpowiednie warunki, aby odtworzyć prawdziwą teorię. Można powtórzyć te same obliczenia, które wykonano dla akcji Palatiniego, ale teraz w odniesieniu do samodualnego połączenia ${\ displaystyle {A_ {\ alfa}} ^ {IJ}}$ . Zmieniając pole tetradowe, otrzymujemy samodualny analog równania Einsteina:

${\ Displaystyle {} ^ {+} R _ {\ alfa \ beta} - {1 \ ponad 2} g _ {\ alfa \ beta} {} ^ {+ }R=0.}$

To, że krzywizna samodualnego połączenia jest samodualną częścią krzywizny połączenia pomaga uprościć formalizm 3+1 (szczegóły rozkładu na formalizm 3+1 podano poniżej). Wynikający z tego formalizm Hamiltona przypomina Yanga-Millsa (nie dzieje się tak w przypadku formalizmu Palatiniego 3 + 1, który zasadniczo upada do zwykłego formalizmu ADM).

Wyprowadzenie głównych wyników dla zmiennych samodualnych

Wyniki wykonanych tutaj obliczeń można znaleźć w rozdziale 3 notatek Ashtekar Variables in Classical Relativity. Metoda dowodu jest zgodna z tą podaną w części II The Ashtekar Hamiltonian for General Relativity . Musimy ustalić pewne wyniki dla (anty-)samodualnych tensorów Lorentza.

Tożsamości dla całkowicie antysymetrycznego tensora

Ponieważ $\ eta _ {IJ}$ sygnaturę ${\ Displaystyle (-, +, +, +)}$ η ja jot { \

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {IJKL} = - \ varepsilon _ {IJKL}.}$

aby to rozważyć,

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {0123} = \ eta ^ {0I} \ eta ^ {1J} \ eta ^ {2K} \ eta ^ {3L} \ varepsilon _ {IJKL} = (-1) (1) (1 )(1)\varepsilon _{0123}=-\varepsilon _{0123}.}$

Dzięki tej definicji można uzyskać następujące tożsamości,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon ^ {IJKO} \ varepsilon _ {LMNO} i = -6 \ delta _ {[L} ^ {I} \ delta _ {M} ^ {J} \ delta _ {N]}^{K}&&{\text{Równ. 3}}\\\varepsilon ^{IJMN}\varepsilon _{KLMN}&=-4\delta _{[K}^{I}\delta _{L]}^{J}=-2\left(\ delta _{K}^{I}\delta _{L}^{J}-\delta _{L}^{I}\delta _{K}^{J}\right)&&{\text{Równ. 4}}\end{wyrównane}}}$

(nawiasy kwadratowe oznaczają antysymetrię nad indeksami).

Definicja samodwoistego tensora

Wynika to z równ. 4 że kwadrat operatora dwoistości jest minus tożsamość,

${IJ} = {1 \ ponad 4} {\ varepsilon _ {KL} }^{IJ}{\varepsilon _{MN}}^{KL}T^{MN}=-T^{IJ}}$

Znak minus tutaj wynika ze znaku minus w równaniu. 4, co z kolei wynika z podpisu Minkowskiego. Gdybyśmy użyli $tj$ dodatni Definiujemy $,$ wtedy i tylko wtedy

${\ Displaystyle * S ^ {IJ} = iS ^ {IJ}.}$

$_$ podpisem samodwoistości Powiedzmy, że jest $jot {\ displaystyle S ^ {IJ}}$ , zapisz to jako część rzeczywistą i urojoną,

${\ Displaystyle S ^ {IJ} = {1 \ ponad 2} T ^ {IJ} + {\ Frac {i} {2}} U ^ {IJ}.}$

Zapisz warunek samodualny w kategoriach i ${\ displaystyle U}$ i ${\ displaystyle V$ }

${\ Displaystyle * \ lewo (T ^ {IJ} + iU ^ {IJ} \ prawej) = {1 \ ponad 2} {\ varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} \ lewo (T ^ {KL} + iU ^{KL}\prawo)=i\lewo(T^{IJ}+iU^{IJ}\prawo).}$

Zrównując części rzeczywiste odczytujemy

${\ Displaystyle U ^ {IJ} = - {1 \ ponad 2} {\ varepsilon _ {KL}} ^ {IJ} T ^ {KL}}$

a więc

${\ Displaystyle S ^ {IJ} = {1 \ ponad 2} \ lewo (T ^ {IJ} - {i \ ponad 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

gdzie $^ {IJ$$}$ jot .

Ważna długa kalkulacja

Dowód równania 2 wprost. Zaczynamy od uzyskania początkowego wyniku. Wszystkie inne ważne formuły łatwo z niego wynikają. Z definicji nawiasu Liego iz wykorzystaniem podstawowej tożsamości Eq. 3 mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} * [F, * G] ^ {IJ} & = {\ Frac {1} {2}} {\ varepsilon _ {MN}} ^ {IJ} \ lewo (F ^ { MK}{(*G)_{K}}^{N}-(*G)^{MK}{F_{K}}^{N}\right)\\&={\frac {1}{2 }}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OPK}}^{N}G^{OP}- {\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OP}}^{MK}G^{OP}{F_{K}}^{N}\right)\\&={1 \ponad 4} \left({\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}+{\varepsilon _{NM}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{ NK}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP} }^{KN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \ponad 2}\varepsilon ^{MIJN}\varepsilon _{OPKN}{F_{M}}^ {K}G^{OP}\\&=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{KIJN}\varepsilon _{OPMN}{F^{M}}_{K}G^{OP }\\&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{O}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{M}^{J}+\ delta _{M}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{P}^{J}+\delta _{P}^{K}\delta _{M}^{I} \delta _{O}^{J}-\delta _{P}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{M}^{J}-\delta _{M}^{ K}\delta _{P}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{O}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{P}^ {J}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left({F^{J}}_{K} G^{KI}+{F^{K}}_{K}G^{IJ}+{F^{I}}_{K}G^{JK}-{F^{J}}_{K }G^{IK}-{F^{K}}_{K}G^{JI}-{F^{I}}_{K}G^{KJ}\right)\\&=-F^ {IK}{G_{K}}^{J}+G^{IK}{F_{K}}^{J}\\&=-[F,G]^{IJ}\end{wyrównane}}}$

To daje formułę

${\ Displaystyle * [F, * G] ^ {IJ} = - [F, G] ^ {IJ} \ qquad Eq.5.}$

Wyprowadzenie ważnych wyników

Teraz używając równania 5 w połączeniu z otrzymujemy ${\ Displaystyle ** = -1}$

${\ Displaystyle * (- [F, G] ^ {IJ}) = * (* [F, * G] ^ {IJ}) = ** [F, * G] ^ {IJ} = - [F, * G]^{IJ}.}$

Więc mamy

${\ Displaystyle * [F, G] ^ {IJ} = [F, * G] ^ {IJ} \ qquad Eq.6.}$

Rozważać

${\ Displaystyle * [F, G] ^ {IJ} = - * [G, F] ^ {IJ} = - [G, * F] ^ {IJ} = [* F, G] ^ {IJ}.}$

$}$ kroku użyliśmy antysymetrii nawiasu Liego do zamiany $,$ drugim kroku użyliśmy mi ${ \ displaystyle$ i w ostatnim kroku ponownie użyliśmy antysymetrii nawiasu Liego. Więc mamy

${\ Displaystyle * [F, G] ^ {IJ} = [* F, G] ^ {IJ} \ qquad Eq.7.}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (P ^ {(\ pm)} [F, G] \ prawej) ^ {IJ} & = {1 \ ponad 2} \ lewo ([F, G] ^ {IJ}\mp i*[F,G]^{IJ}\right)\\&={1 \ponad 2}\left([F,G]^{IJ}+[F,\mp i*G ]^{IJ}\right)\\&=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}&&{\text{Równ. 8}}\end{wyrównane}}}$

gdzie użyliśmy równania 6 przechodząc od pierwszej linii do drugiej linii. Podobnie mamy

$Displaystyle \ lewo (P ^ {(\ pm)} [F, G] \ prawo )^{IJ}=[P^{(\pm )}F,G]^{IJ}\qquad Eq.9}$

za pomocą równania 7. Teraz, gdy jest rzutem , $P ^ {(\$ spełnia $)$ , co można łatwo zweryfikować przez bezpośrednie obliczenie:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {} (P ^ {(\ pm)}) ^ {2} & = {1 \ ponad 4} (1 \ mp i *) (1 \ mp i *) \\ { }&={1 \over 4}(1-**\mp 2i*)\\{}&={1 \over 4}(2\mp 2i*)\\{}&=P^{(\pm )}\end{wyrównane}}}$

Stosując to w połączeniu z Eq. 8 i Równ. 9 otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {} \ lewo (P ^ {(\ pm)} [F, G] \ prawej) ^ {IJ} & = \ lewo ((P ^ {(\ pm)}) ^ {2}[F,G]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{(\pm )}[F,P^{(\pm )}G]\right)^{IJ} \\{}&=[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G]^{IJ}\qquad Równanie10.\end{wyrównane}}}$

z równania 10 i Równ. 9 mamy

${\ Displaystyle \ lewo [P ^ {(\ pm)} F, P ^ {(\ pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{( \pm )}G+P^{(\mp )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{ IJ}+\lewo[P^{(\pm )}F,P^{(\mp )}G\prawo]^{IJ}}$

gdzie wykorzystaliśmy, że każdy $sol$ być zapisany jako suma jego części samo-dualnych i anty-sef-dwoistych, tj. $\ displaystyle G = P^{(\pm)}G+P^{(\mp)}G}$ . Oznacza to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} \ lewo [P ^ {+} F, P ^ {-} G\right]^{IJ}&=0\\{}\left[P^{-}F,P^{+}G\right]^{IJ}&=0\end{wyrównane}}}$

Podsumowanie głównych wyników

W sumie mamy

${\ Displaystyle \ lewo (P ^ {(\ pm)} [F, G] \ prawo) ^ {IJ} = \ lewo [P ^ {(\ pm)} F, G \ prawo] ^ {IJ} = \ left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ} }$

co jest naszym głównym wynikiem, już podanym powyżej jako Eq. 2. Mamy również, że każdy nawias dzieli się jako

${\ Displaystyle [F, G] ^ {IJ} = \ lewo [P ^ {+} F + P ^ {-} F, P ^ {+} G + P ^ {-} F \ prawej] ^ {IJ} =\lewo[P^{+}F,P^{+}G\prawo]^{IJ}+\lewo[P^{-}F,P^{-}G\prawo]^{IJ}.}$

na część, która zależy tylko od samo-dualnych tensorów Lorentza i sama jest samo-dualną częścią ${\ Displaystyle [F, G] ^ {IJ},}$ oraz część, która zależy tylko od anty-samo-dualne tensory Lorentza i jest samo-dualną częścią ${\ Displaystyle [F, G] ^ {IJ}.}$

Wyprowadzenie formalizmu Ashtekara z samodualnego działania

Dowód podany tutaj jest zgodny z tym podanym w wykładach Jorge Pullina

Akcja Palatiniego

$Displaystyle S (e, \ omega) = \ int d ^ {4} xee_ { I}^{a}e_{J}^{b}{\Omega _{ab}}^{IJ}[\omega ]\qquad Eq.11}$

gdzie tensor Ricciego jest uważany za skonstruowany ${IJ}}$ z połączenia $} ^ {IJ}$${\ displaystyle {\ omega _ {$ , bez użycia pola ramki. Wariacja względem tetrady daje równania Einsteina zapisane w kategoriach tetrad, ale dla tensora Ricciego skonstruowanego z połączenia, które nie ma związku a priori z tetradą. Zmienność w odniesieniu do połączenia mówi nam, że połączenie spełnia zwykły warunek zgodności

${\ Displaystyle D_ {b} e_ {a} ^ {I} = 0.}$

To określa połączenie w kategoriach tetrady i odzyskujemy zwykły tensor Ricciego.

Samodualne działanie dla ogólnej teorii względności podano powyżej.

$int d ^ {4} xee_ {ja} ^ {a }e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}[A]}$

gdzie jest krzywizną , samodualnej części , ${\$$displaystyle \ omega} , fa {$ \ $}$

${\ Displaystyle A_ {a} ^ {IJ} = {1 \ ponad 2} \ lewo (\ omega _ {a} ^ {IJ} - {i \ ponad 2} {\ varepsilon ^ {IJ}} _ {MN} \omega _{a}^{MN}\prawo).}$

Wykazano $Ω$ samodualną ${\ Displaystyle \ Omega [\ omega].}$

Niech $\ Displaystyle q_ {b} ^ {a} = \ delta _ {b} ^ {a} + n ^ {a} n_ {b}} będzie projektorem$ na trzy powierzchnie i zdefiniuj pola wektorowe

$\ Displaystyle E_ {ja} ^ {a} = q_ {b} ^ {a} e_ {ja} ^ {b},}$

które są prostopadłe do ${\ displaystyle n ^ {a}}$ .

Pismo

$\ Displaystyle E_ {I} ^ {a} = \ lewo (\ delta _ {b} ^ {a} + n_ {b} n ^ { a}\right)e_{I}^{b}}$

wtedy możemy pisać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int & d ^ {4} x \ lewo (eE_ {I} ^ {a} E_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} -2eE_ {ja }^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)=\\&=\int d^{4}x\left (e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}\left(\delta _{d}^{b}+ n_{d}n^{b}\right)e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c} n^{a}\right)e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&= \int d^{4}x\left(ee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}e_{I }^{c}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+ee_{I}^{a}n_{d}n^{b}e_{J}^{d}{ F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}n_{d}n^{b}E_{I}^{c}E_{J}^{d}{F_{ab}} ^{IJ}-2ee_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2n_{c}n^{a} e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}xee_ {I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}\\&=S(E,A)\end{wyrównane}}}$

gdzie użyliśmy ${\ Displaystyle {F_ {ab}} ^ {IJ} = {F_ {ba}} ^ {JI}}$${ \displaystyle n ^ {a} n ^ {b} F_ {ab} ^ {i} = 0}$ n .

Tak więc akcję można napisać

${\ Displaystyle S (E, A) = \ int d ^ {4} x \ lewo (eE_ {I} ^ {a} E_ {J} ^ {b} {F_ {ab}} ^ {IJ} -2eE_ { I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\qquad Równanie 12}$

Mamy mi $\ displaystyle e = N {\ sqrt {q}}}$ . Teraz definiujemy

${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {ja} ^ {a} = {\ sqrt {q}} E_ {I} ^ {a}$

Wewnętrzny tensor jest samodwoisty wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle S ^ {IJ}}$

${IJ}: = {1 \ ponad 2} {\ varepsilon ^ {IJ}} _ {MN} S^{MN}=iS^{IJ}}$

$\ displaystyle {F_ {ab}} ^ {IJ}}$ krzywizna jest samodualna, mamy fa za

$\ Displaystyle {F_ {ab}} ^ {IJ} = -i {1 \ ponad 2} {\ varepsilon ^ {IJ}} _{MN}{F_{ab}}^{MN}}$

Podstawiając to do działania (Równanie 12) mamy,

${\ Displaystyle S (E, A) = \ int d ^ {4} x \ lewo (-i {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {N} {\ sqrt {q} }}\right){\tylda {E}}_{I}^{a}{\tylda {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ ab}}^{MN}-2Nn^{b}{\tylda {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)}$

gdzie oznaczyliśmy ${\ Displaystyle n_ {J} = e_ {J} ^ {d} n_ {d}$ . Wybieramy miernik ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {0} ^ {a} = 0}$ i ${\ displaystyle n ^ {I} = \ delta _ {0} ^{I}}$ (oznacza ${\ Displaystyle n_ {I} = \ eta _ {IJ} n ^ {J} = \ eta _ {00} \ delta _ {0} ^ {I} = - \ delta _ {0} ^ {I}}$ ) . ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {IJKL} n ^ {L} = \ varepsilon _ {IJK}}$ jot ${ \ displaystyle \ varepsilon _ {IJK0} = \ varepsilon _ {IJK}}$ co w tym . Dlatego,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S (E, A) & = \ int d ^ {4} x \ lewo (-i {1 \ ponad 2} \ lewo ({N \ ponad {\ sqrt {q}} }\right){\tylda {E}}_{I}^{a}{\tylda {E}}_{J}^{b}\left({\varepsilon ^{IJ}}_{M0}{ F_{ab}}^{M0}+{\varepsilon ^{IJ}}_{0M}{F_{ab}}^{0M}\right)-2Nn^{b}{\tylda {E}}_{ I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tylda {E}}_{I}^{a}{\tylda {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M} {F_{ab}}^{M0}+2Nn^{b}{\tylda {E}}_{I}^{a}{F_{ab}}^{I0}\right)\end{wyrównane}} }$

Indeksy sięgają ponad $1,2,3} i$$2$ chwilę oznaczamy je Przez samodwoistość , ZA za $A_ {a} ^ {IJ}$ }

${\ Displaystyle A_ {a} ^ {i0} = - ja {1 \ ponad 2} {\ varepsilon ^ {i0}} _ {jk} A_ {a} ^ {jk} = i {1 \ ponad 2} {\ varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}=iA_{a}^{i}.}$

gdzie korzystaliśmy

${\ Displaystyle {\ varepsilon ^ {i0}} _ {jk} = - {\ varepsilon ^ {i}} _ {0jk} = - {\ varepsilon ^ {i}} _ {jk0} = - {\ varepsilon ^ { i}}_{jk}.}$

To implikuje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {F_ {ab}} ^ {i0} & = \ częściowe _ {a} A_ {b} ^ {i0} - \ częściowe _ {b} A_ {a} ^ {i0} +A_{a}^{ik}{A_{bk}}^{0}-A_{b}^{ik}{A_{ak}}^{0}\\&=i\left(\częściowo _{ a}A_{b}^{i}-\częściowe _{b}A_{a}^{i}+A_{a}^{ik}A_{bk}-A_{b}^{ik}A_{ak }\right)\\&=i\left(\częściowa _{a}A_{b}^{i}-\częściowa _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{ a}^{j}A_{b}^{k}\right)\\&=iF_{ab}^{i}\end{wyrównane}}}$

Zastępujemy w drugim członie w akcji ${b} -n ^ {b}$ n $^$ } Potrzebujemy

$L}} _ {t} A_ {b} ^ {i} = t ^ {a}$

I

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {b} \ lewo (t^{a}A_{a}^{i}\right)=\częściowe _{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+\varepsilon _{ijk} A_{b}^{j}\lewo(t^{a}A_{a}^{k}\prawo)}$

pozyskać

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {t} A_ {b} ^ {i} - {\ mathcal {D}} _ {b} \ lewo (t ^ {a} A_ {a} ^ {i} \right)=t^{a}\left(\częściowe _{a}A_{b}^{i}-\częściowe _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{ a}^{j}A_{b}^{k}\right)=t^{a}F_{ab}^{i}.}$

Akcja staje się

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S & = \ int d ^ {4} x \ lewo (-i \ lewo ({N \ ponad {\ sqrt {q}}} \ dobrze){\tylda {E}}_{I}^{a}{\tylda {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}} ^{M0}-2\left(t^{a}-N^{a}\right){\tylda {E}}_{I}^{b}{F_{ab}}^{I0}\right )\\&=\int d^{4}x\left(-2i{\tylda {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{ i}+2i{\tylda {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+ 2iN^{a}{\tylda {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _ {ijk}{\tylda {E}}_{i}^{a}{\tylda {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)\end{wyrównane}} }$

gdzie zamieniliśmy zmienne fikcyjne $displaystyle$ b $b}$ w drugim członie pierwszego wiersza. Całkowanie przez części na drugim członie,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int d ^ {4} x {\ tylda {E}} _ {i} ^ {b} {\ mathcal {D}} _ {b} \ lewo (t ^ {a }A_{a}^{i}\right)&=\int dtd^{3}x{\tylda {E}}_{i}^{b}\left(\częściowa _{b}(t^{ a}A_{a}^{i})+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}(t^{a}A_{a}^{k})\right)\\&=-\ int dtd^{3}xt^{a}A_{a}^{i}\left(\częściowa _{b}{\tylda {E}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk} A_{b}^{j}{\tylda {E}}_{k}^{b}\right)\\&=-\int d^{4}xt^{a}A_{a}^{i }{\mathcal {D}}_{b}{\tylda {E}}_{i}^{b}\end{wyrównane}}}$

gdzie odrzuciliśmy człon brzegowy i gdzie użyliśmy wzoru na pochodną kowariantną na gęstości wektora ${\ Displaystyle {\ tylda {V}} _ {i} ^ {b}}$ :

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {b} {\ tylda {V}} _ {i} ^ {b} = \ częściowe _ {b} {\ tylda {V}} _ {i} ^ {b }+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tylda {V}}_{k}^{b}.}$

Ostateczną formą działania, którego wymagamy, jest

${\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x \ lewo (-2i {\ tylda {E}} _ {i} ^ {b$

Istnieje termin postaci " ${\ Displaystyle p {\ kropka {q}}}$ ", a więc ilość $\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {i} ^ {a}}$ jest sprzężonym pędem do $i}}$ . Dlatego możemy od razu napisać

${\ Displaystyle \ lewo \ {A_ {a} ^ {i} (x), {\ tylda {E}} _ {j} ^ {b} (y) \ prawo \} = {i \ ponad 2} \ delta _{a}^{b}\delta _{j}^{i}\delta ^{3}(x,y).}$

$Zmienność działania w odniesieniu$ do niedynamicznych funkcja przesunięcia i funkcja wygaśnięcia dają ograniczenia $^ {b}}$$displaystyle$

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {a} {\ tylda {E}} _ {i} ^ {a} = 0,}$

$i} ^ {b} = 0,} ε$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk} {\ tylda {E}} _ {i} ^ {a} {\ tylda {E}} _ {j} ^ {b} F_ {ab} ^ {k} = 0 \ qquad Równanie 13.}$

Zmienianie się w odniesieniu do $.$ daje ostatnie ograniczenie w równaniu 13 podzielone przez $zostało$ przeskalowane, aby ograniczenie było wielomianem w podstawowych zmiennych. Można zapisać połączenie ${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$

${\ Displaystyle A_ {a} ^ {i} = {1 \ ponad 2} {\ varepsilon ^ {i}} _ {jk} A_ {a} ^ {jk} = {1 \ ponad 2} \varepsilon ^{i}}_{jk}\left(\omega _{a}^{jk}-i{1 \over 2}\left({\varepsilon ^{jk}}_{m0}\omega _ {a}^{m0}+{\varepsilon ^{jk}}_{0m}\omega _{a}^{0m}\right)\right)=\Gamma _{a}^{i}-i\ omega _{a}^{0i}}$

I

${\ Displaystyle E_ {ci} \ omega _ {a} ^ {0i} = - q_ {a} ^ {b} E_ {ci} \ omega _ {b} ^ {i0} = - q_ {a} ^ {b }E_{ci}e^{di}\nabla _{b}e_{d}^{0}=q_{a}^{b}q_{c}^{d}\nabla _{b}n_{d }=K_{ac}}$

gdzie korzystaliśmy

${\ Displaystyle e_ {d} ^ {0} = \ eta ^ {0I} g_ {dc} e_ {I}$

dlatego $\ Displaystyle \ omega _ {a} ^ {0i} = K_ {a} ^ {i}}$ . Tak brzmi połączenie

${\ Displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} -iK_ {a} ^ {i}.}$

Jest to tak zwane chiralne połączenie spinowe.

Warunki rzeczywistości

Ponieważ zmienne Ashtekara są złożone, skutkuje to złożoną ogólną teorią względności. Aby odzyskać prawdziwą teorię, trzeba narzucić tak zwane warunki rzeczywistości. Wymagają one, aby zagęszczona triada była rzeczywista i aby rzeczywista część połączenia Ashtekar była równa kompatybilnemu połączeniu spinowemu.

Więcej na ten temat zostanie powiedziane później.

Zobacz też

• Algebra kłamstw
• Akcja plebańska
• Model BF