Sekwencja Alkuina

W matematyce ciąg Alcuina , nazwany na cześć Alcuina z Yorku , jest ciągiem współczynników rozwinięcia szeregu potęgowego :

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {3}} {(1-x ^ {2}) (1-x ^ {3}) (1-x ^ {4})}} = x ^ {3} + x^{5}+x^{6}+2x^{7}+x^{8}+3x^{9}+\cdots .}$

Sekwencja zaczyna się od tych liczb całkowitych:

0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21 (sekwencja A005044 w OEIS )

N - ty wyraz to liczba trójkątów o bokach całkowitych i obwodzie n . Jest to również liczba trójkątów o różnych bokach całkowitych i obwodzie n + 6, tj. liczba trójek ( a , b , c ) taka, że ​​1 ≤ a < b < c < a + b , a + b + c = n + 6.

Jeśli usunie się trzy wiodące zera, to jest to liczba sposobów, na jakie n pustych beczek, n ​​beczek do połowy pełnych wina i n pełnych beczek można rozdzielić między trzy osoby w taki sposób, aby każda z nich otrzymała taką samą liczbę beczek i tyle samo wina. Jest to uogólnienie problemu 12, który pojawia się w Propositiones ad Acuendos Juvenes („Problemy z wyostrzeniem młodych”), zwykle przypisywanych Alcuinowi. Ten problem jest podany jako,

Zadanie 12: Pewien ojciec zmarł i pozostawił w spadku swoim trzem synom 30 szklanych flakonów, z których 10 było pełnych oliwy, kolejnych 10 było do połowy pełnych, a kolejnych 10 pustych. Rozdziel oliwę i baryłki tak, aby równy udział w towarach przypadł trzem synom, zarówno oliwy, jak i szkła.

Termin „sekwencja Alcuina” wywodzi się z książki D. Olivastro z 1993 r. O grach matematycznych, Ancient Puzzle: Classical Brainteasers and Other Timeless Mathematical Games of the Last 10 Centuries (Bantam, Nowy Jork).

Sekwencja z usuniętymi trzema wiodącymi zerami jest otrzymywana jako sekwencja współczynników rozwinięcia szeregu potęgowego

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(1-x ^ {2}) (1-x ^ {3}) (1-x ^ {4})}} = 1 + x ^ {2} + x ^ {3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots .}$

Sekwencja ta została również nazwana przez niektórych autorów sekwencją Alcuina.