Separatrix (matematyka)

W matematyce separator to granica oddzielająca dwa tryby zachowania w równaniu różniczkowym .

Przykład

Rozważmy równanie różniczkowe opisujące ruch wahadła prostego :

${\ Displaystyle {d ^ {2} \ teta \ nad dt ^ {2}} + {g \ nad \ ell} \ sin \ teta = 0.}$

gdzie oznacza długość wahadła, $przyspieszenie$$grawitacyjne$ i kąt $między$ wahadłem a pionowo W układzie tym występuje zachowana wielkość H (hamiltonian ) , którą wyraża wzór

${\ Displaystyle H = {\ Frac {{\ kropka {\ teta}} ^ {2}} {2}} - {\ Frac {g} {\ ell}} \ cos \ teta.}$

Mając to zdefiniowane, można wykreślić krzywą stałej H w przestrzeni fazowej układu. $osią$ to wykres z $poziomą$ i pionową - patrz miniatura po prawej stronie. Rodzaj wynikowej krzywej zależy od wartości H .

Przestrzeń fazowa wahadła prostego

Jeśli $_$$istnieje$ krzywa nie ( )

Jeśli ${\ Displaystyle - {\ Frac {g} {\ ell} <H <{\ Frac {g} {\ ell}}} to$ krzywa będzie prostą zamkniętą krzywą , która jest prawie okrągły dla małego H i przybiera kształt „oka”, gdy H zbliża się do górnej granicy. Krzywe te odpowiadają okresowym wahaniom wahadła z boku na bok.

Jeśli ${\ Displaystyle {\ Frac {g} {\ ell} <H},$ to krzywa jest otwarta, co odpowiada wahadłu, które wiecznie obraca się po pełnych okręgach.

W tym systemie separatrix jest krzywą odpowiadającą ${\ Displaystyle H = {\ Frac {g} {\ ell}}}$ . Dzieli on — stąd nazwa — przestrzeń fazową na dwa odrębne obszary, z których każdy charakteryzuje się odrębnym typem ruchu. Obszar wewnątrz separatrix ma wszystkie te krzywe przestrzeni fazowej, które odpowiadają wahadłu oscylującemu w przód iw tył, podczas gdy obszar na zewnątrz separatrycy ma wszystkie krzywe przestrzeni fazowej, które odpowiadają wahadłu obracającemu się w sposób ciągły po pionowych płaskich okręgach.

• Logan, J. David, Applied Mathematics , wyd. 3, 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, str. 65.

Linki zewnętrzne

• Separatrix z MathWorld .