Seria Appell

Uogólnienia serii Lamberta można znaleźć w serii Appell – Lerch .

W matematyce szeregi Appella są zbiorem czterech szeregów hipergeometrycznych F ₁ , F ₂ , F ₃ , F ₄ dwóch zmiennych , które zostały wprowadzone przez Paula Appella ( 1880 ) i które uogólniają szereg hipergeometryczny Gaussa ₂ F ₁ jednej zmiennej. Appell ustalił zestaw równań różniczkowych cząstkowych , których rozwiązaniami są te funkcje , i znalazł różne wzory redukcji i wyrażenia tych szeregów w kategoriach szeregów hipergeometrycznych jednej zmiennej.

Definicje

Seria Appella F ₁ jest zdefiniowana dla | x | < 1, | y | < 1 przez podwójną serię

${\ Displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = \ suma _ {m, n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!} }\,x^{m}y^{n}~,}$

gdzie ${\ Displaystyle (q) _ {n}}$ jest symbolem Pochhammera . Dla innych wartości x i y funkcję F ₁ można zdefiniować przez kontynuację analityczną . Można to pokazać

${\ Displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = \ suma _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(a) _ {r }(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}(ca)_{r}}{(c+r-1)_{r}(c)_{2r}r! }}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c+2r;x\right){}_{ 2}F_{1}\lewo(a+r,b_{2}+r;c+2r;y\prawo)~.}$

Podobnie funkcja F ₂ jest zdefiniowana dla | x | + | y | < 1 według serii

${\ Displaystyle F_ {2} (a, b_ {1}, b_ {2}; c_ {1}, c_ {2}; x, y) = \ suma _ {m, n = 0} ^ {\infty}{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c_{1})_{m}( c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}}$

i można to wykazać

${\ Displaystyle F_ {2} (a, b_ {1}, b_ {2}; c_ {1}, c_ {2}; x, y) = \ suma _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frak {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}}{(c_{1})_{r}(c_{2})_{r }r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c_{1}+r;x\ prawo){}_{2}F_{1}\lewo(a+r,b_{2}+r;c_{2}+r;y\prawo)~.}$

Również funkcja F ₃ dla | x | < 1, | y | < 1 można zdefiniować za pomocą serii

${\ Displaystyle F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = \ suma _ {m, n = 0} ^{\infty}}{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}} {(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

oraz funkcja F ₄ dla | x | ^½ + | y | ^½ < 1 według serii

${\ Displaystyle F_ {4} (a, b; c_ {1}, c_ {2}; x, y) = \ suma _ {m, n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(a) _ {m+n}(b)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^ {m}y^{n}~.}$

Relacje powtarzalności

Podobnie jak szereg hipergeometryczny Gaussa ₂ F ₁ , szereg podwójny Appella pociąga za sobą relacje powtarzalności między ciągłymi funkcjami. Na przykład podstawowy zestaw takich relacji dla F ₁ Appella jest określony przez:

${\ Displaystyle (ab_ {1}-b_{2})F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1}, b_{2},c;x,y)+b_{1}F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+b_{2}F_{1} (a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)=0~,}$

$c \, F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-(ca)F_{1}(a,b_{1},b_{2},c+1;x, y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\ Displaystyle c \, F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + c (x-1) F_ { 1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)-(ca)x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c +1;x,y)=0~,}$

${\ Displaystyle c \, F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) + c (y-1) F_ {1} (a, b_ {1}, b_ { 2}+1,c;x,y)-(ca)y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}$

Z tych czterech można wyprowadzić dowolną inną relację ważną dla _F1 .

F ₃ Appella wynikają z tego zestawu pięciu:

${\ Displaystyle c \, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) +(a_{1}+a_{2}-c)F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{ 1}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{2}F_{3}(a_{1 },a_{2}+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\ Displaystyle c \, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) - c\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}x\,F_{3}(a_ {1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\ Displaystyle c \, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x ,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{2}y\,F_{ 3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~,}$

${\ Displaystyle c \, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) - c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+a_{1}x\,F_{3}(a_ {1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}$

${\ Displaystyle c \, F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) -c \, F_ {3} (a_ {1} ,a_{2},b_{1},b_{2}+1,c;x,y)+a_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_ {1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}$

Pochodne i równania różniczkowe

F ₁ Appella z definicji szeregiem podwójnym wynikają następujące pochodne :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {n}} {\ częściowe x ^ {n}}} F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {n}}{\częściowy y^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_ {n}\left(b_{2}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1},b_{2} +n,c+n;x,y)}$

wynika , że ​​F ₁ Appella spełnia następujący układ równań różniczkowych drugiego rzędu :

${\ Displaystyle x (1-x) {\ Frac {\częściowe ^{2}F_{1}(x,y)}{\częściowe x^{2}}}+y(1-x){\frac {\częściowe ^{2}F_{1}(x ,y)}{\częściowy x\częściowy y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\częściowy F_{1}(x,y)}{\częściowy x} }-b_{1}y{\frac {\częściowy F_{1}(x,y)}{\częściowy y}}-ab_{1}F_{1}(x,y)=0}$

${\ Displaystyle y (1-y) {\ Frac {\ częściowy ^ {2}F_{1}(x,y)}{\częściowy ^{2}}}+x(1-y){\frac {\częściowy ^{2}F_{1}(x,y)} {\częściowy x\częściowy y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\częściowy F_{1}(x,y)}{\częściowy y}}-b_{ 2}x{\frac {\częściowy F_{1}(x,y)}{\częściowy x}}-ab_{2}F_{1}(x,y)=0}$

Układ równań różniczkowych cząstkowych dla F ₂ to

${\ Displaystyle x (1-x) {\ Frac {\ częściowe ^{2}F_{2}(x,y)}{\częściowe x^{2}}}-xy{\frac {\częściowe ^{2}F_{2}(x,y)}{\częściowe x \częściowy y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\częściowy F_{2}(x,y)}{\częściowy x}}-b_{1 } y{\frac {\częściowy F_{2}(x,y)}{\częściowy y}}-ab_{1}F_{2}(x,y)=0}$

${\ Displaystyle y (1-y) {\ Frac {\ częściowe ^ {2} F_ {2} ( x,y)}{\częściowy y^{2}}}-xy{\frac {\częściowy ^{2}F_{2}(x,y)}{\częściowy x\częściowy y}}+[c_{ 2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\częściowe F_{2}(x,y)}{\częściowe y}}-b_{2}x{\frac {\częściowe F_ {2}(x,y)}{\częściowe x}}-ab_{2}F_{2}(x,y)=0}$

System ma rozwiązanie

${\ Displaystyle F_ {2} (x, y) = C_ {1} F_ {2} (a, b_ {1}, b_ { 2},c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{2}(a-c_{1}+1,b_{1} -c_{1}+1,b_{2},2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{2}(a -c_{2}+1,b_{1},b_{2}-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1 -c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{1}-c_{2}+2,b_{1}-c_{1}+1,b_{2 }-c_{2}+1,2-c_{1},2-c_{2};x,y)}$

Podobnie dla F ₃ z definicji wynikają następujące pochodne:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, c; x,y)={\frac {a_{1}b_{1}}{c}}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2} ,c+1;x,y)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy y}} F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b_$

A dla F ₃ otrzymuje się następujący układ równań różniczkowych:

${\ Displaystyle x (1-x) {\ Frac {\ częściowe ^ {2} F_ {3} (x, y)} {\częściowy x^{2}}}+y{\frac {\częściowy ^{2}F_{3}(x,y)}{\częściowy x\częściowy y}}+[c-(a_{1} +b_{1}+1)x]{\frac {\częściowy F_{3}(x,y)}{\częściowy x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y) = 0}$

${\ Displaystyle y (1-y) {\ Frac {\ częściowe ^ {2} F_ {3} (x, y)}{\częściowy y^{2}}}+x{\frac {\częściowy ^{2}F_{3}(x,y)}{\częściowy x\częściowy y}}+[c-(a_ {2}+b_{2}+1)y]{\frac {\częściowe F_{3}(x,y)}{\częściowe y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x ,y)=0}$

Układ równań różniczkowych cząstkowych dla F ₄ to

${\ Displaystyle x (1-x) {\ Frac {\ częściowe ^ {2} F_ {4} (x, y)} {\ częściowe x ^ {2}}} -y ^ {2} \frac {\częściowy ^{2}F_{4}(x,y)}{\częściowy ^{2}}}-2xy{\frac {\częściowy ^{2}F_{4}(x,y) }{\częściowy x\częściowy y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\częściowy F_{4}(x,y)}{\częściowy x}}-( a+b+1)y{\frac {\częściowy F_{4}(x,y)}{\częściowy y}}-abF_{4}(x,y)=0}$

${\ Displaystyle y (1-y){\frac {\częściowy ^{2}F_{4}(x,y)}{\częściowy ^{2}}}-x^{2}{\frac {\częściowy ^{2 }F_{4}(x,y)}{\częściowy x^{2}}}-2xy{\frac {\częściowy ^{2}F_{4}(x,y)}{\częściowy x\częściowy y }}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\częściowe F_{4}(x,y)}{\częściowe y}}-(a+b+1)x{ \frac {\częściowy F_{4}(x,y)}{\częściowy x}}-abF_{4}(x,y)=0}$

System ma rozwiązanie

${\ Displaystyle F_ {4} (x, y) = C_ {1} F_ {4} (a, b, c_ {1}, c_ {2}; x, y) + C_ {2} x ^ {1 -c_{1}}F_{4}(a-c_{1}+1,b-c_{1}+1,2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3} y^{1-c_{2}}F_{4}(a-c_{2}+1,b-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+ C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{4}(2+a-c_{1}-c_{2},2+b-c_{1 }-c_{2},2-c_{1},2-c_{2};x,y)}$

Reprezentacje integralne

Cztery funkcje zdefiniowane przez podwójny szereg Appella można przedstawić za pomocą całek podwójnych obejmujących tylko funkcje elementarne ( Gradshteyn i in. 2015 , §9.184). Jednak Émile Picard ( 1881 ) odkrył, że F ₁ Appella można również zapisać jako jednowymiarową całkę typu Eulera :

${\ Displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = {\ Frac {\ Gamma (c)} {\ Gamma (a) \ Gamma (ca)}} \int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{ca-1}(1-xt)^{-b_{1}}(1-yt)^{-b_ {2}}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}$

Reprezentację tę można zweryfikować za pomocą rozwinięcia całki Taylora , po którym następuje całkowanie terminowe.

Przypadki specjalne

Całkowa reprezentacja Picarda implikuje, że niezupełne całki eliptyczne F i E oraz zupełna całka eliptyczna Π są szczególnymi przypadkami Appella F ₁ :

${\ Displaystyle F (\ fi, k) = \ int _ {0} ^ {\ fi} {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^{2}\theta }}}=\sin(\phi)\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac { 1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\ phi |<{\frac {\pi }{2}}~,}$

${\ Displaystyle E (\ fi, k) = \ int _ {0} ^ {\ fi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ teta}} \, \ mathrm {d} \theta =\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{ 2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |< {\ Frac {\ pi }{2}} ~,}$

${\ Displaystyle \ Pi (n, k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ Frac {\ operatorname {d} \ teta} {(1-n \ sin ^ {2} \ teta) {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta}}}}={\frac {\pi}}{2}}\,F_{1}({\tfrac {1}{2 }},1,{\tfrac {1}{2}},1;n,k^{2})~.}$

Powiązane serie

Główne artykuły: serie Humberta i serie hipergeometryczne Lauricelli

• ₀ Istnieje siedem powiązanych szeregów dwóch zmiennych, Φ ₁ , Φ ₂ , Φ ₃ , Ψ ₁ , Ψ ₂ , Ξ ₁ i Ξ ₂ , które uogólniają konfluentną hipergeometryczną funkcję Kummera ₁ F ₁ jednej zmiennej i konfluentną hipergeometryczną funkcję graniczną F ₁ jednej zmiennej w podobny sposób. Pierwszy z nich został wprowadzony przez Pierre'a Humberta w 1920 roku .
• Giuseppe Lauricella ( 1893 ) zdefiniował cztery funkcje podobne do szeregu Appella, ale zależne od wielu zmiennych, a nie tylko od dwóch zmiennych x i y . Serie te były również badane przez Appella. Spełniają pewne równania różniczkowe cząstkowe i mogą być również podane w postaci całek typu Eulera i całek konturowych .

•   Apel, Paweł (1880). „Sur les séries hypergéométriques de deux variables et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles”. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (w języku francuskim). 90 : 296-298 i 731-735. JFM 12.0296.01 . (patrz także „Sur la série F ₃ (α, α', β, β', γ; x, y)” w CR Acad. Sci. 90 , s. 977–980)
• Apel, Paweł (1882). „Sur les funkctions hypergéométriques de deux variables” . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . (3ème serie) (w języku francuskim). 8 : 173–216. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 12 kwietnia 2013 r.
•   Apel, Paweł; Kampé de Fériet, Joseph (1926). Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (w języku francuskim). Paryż: Gauthier – Villars. JFM 52.0361.13 . (patrz str. 14)
•    Askey, RA; Olde Daalhuis, AB (2010), „seria Appell” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
• Burchnall, JL; Chaundy, TW (1940). „Rozszerzenia podwójnych funkcji hipergeometrycznych Appella”. QJ Matematyka . Pierwsza seria. 11 : 249–270. doi : 10.1093/qmath/os-11.1.249 .
• Erdélyi, A. (1953). Wyższe funkcje transcendentalne, tom. ja (PDF) . Nowy Jork: McGraw-Hill. (patrz str. 224)
•    Gradsztejn, Izrail Salomonowicz ; Ryżyk, Józef Moisejewicz ; Geronimus, Jurij Wieniaminowicz ; Tsejtlin, Michaił Juljewicz ; Jeffrey, Alan (2015) [październik 2014]. „9.18.”. W Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (red.). Tabela całek, szeregów i iloczynów . Przetłumaczone przez Scripta Technica, Inc. (wyd. 8). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .
•   Humbert, Pierre (1920). „Sur les funkctions hypercylindriques”. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (w języku francuskim). 171 : 490–492. JFM 47.0348.01 .
•    Lauricella Giuseppe (1893). „Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (w języku włoskim). 7 : 111–158. doi : 10.1007/BF03012437 . JFM 25.0756.01 . S2CID 122316343 .
•   Picard, Emil (1881). „Sur une extension aux fonctions de deux variables du problemlème de Riemann relativ aux fonctions hypergéométriques” . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Seria 2 (w języku francuskim). 10 : 305–322. doi : 10.24033/asens.203 . JFM 13.0389.01 . (patrz także CR Acad. Sci. 90 (1880), s. 1119-1121 i 1267-1269)
•     Łupek, Lucy Joan (1966). Uogólnione funkcje hipergeometryczne . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X . MR 0201688 . (jest wydanie w miękkiej oprawie z 2008 r. z ISBN 978-0-521-09061-2 )

Linki zewnętrzne

• Aarts, Ronald M. „Funkcje Lauricella” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Funkcja hipergeometryczna Appell” . MathWorld .