Seria Lidstone'a

W matematyce szereg Lidstone'a , nazwany na cześć George'a Jamesa Lidstone'a , jest rodzajem rozwinięcia wielomianu, które może wyrażać pewne typy całych funkcji .

Niech ƒ ( z ) będzie całą funkcją typu wykładniczego mniejszą niż ( N + 1) π , jak zdefiniowano poniżej. Wtedy ƒ ( z ) można rozwinąć wielomianami A _n w następujący sposób:

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lewo [A_ {n} (1-z) f ^ {(2n)} (0) + A_ {n} (z )f^{(2n)}(1)\right]+\suma _{k=1}^{N}C_{k}\sin(k\pi z).}$

Tutaj An ( z ) jest wielomianem w z stopnia n , C _{k jest} stałą, a ƒ ( ^{n ) (} a ) n - tą pochodną ƒ w a .

Mówimy, że funkcja jest typu wykładniczego mniejszego niż t, jeśli funkcja

${\ Displaystyle h (\ theta; f) = {\ underset {r \ do \ infty}} {\ limsup}} \, {\ Frac {1} {r}} \ log | f (re ^ {i \ theta} )|}$

jest ograniczony z góry przez t . Zatem stała N użyta w powyższym sumowaniu jest dana przez

${\ Displaystyle t = \ sup _ {\ teta \ w [0,2 \ pi)} h (\ teta; f)}$

z

${\ Displaystyle N \ pi \ równoważnik t <(N + 1) \ pi.}$

•   Ralph P. Boas, Jr. i C. Creighton Buck, wielomianowe rozszerzenia funkcji analitycznych , (1964) Academic Press, NY. Katalog Biblioteki Kongresu 63-23263. Wydany jako tom 19 Moderne Funktionentheorie ed. LV Ahlfors, seria Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Springer-Verlag ISBN 3-540-03123-5