W matematyce szereg Wienera lub ekspansja funkcyjna Wienera G pochodzi z książki Norberta Wienera z 1958 roku . Jest to rozwinięcie ortogonalne dla funkcjonałów nieliniowych ściśle związanych z szeregiem Volterry i mające z nim taki sam związek, jak rozwinięcie ortogonalnego wielomianu Hermite'a z szeregiem potęgowym . Z tego powodu jest również znany jako ekspansja Wienera-Hermite'a . Odpowiedniki współczynników nazywane są jądrami Wienera . Warunki szeregu są ortogonalne (nieskorelowane) w odniesieniu do statystycznego wejścia białego szumu . Właściwość ta pozwala na identyfikację terminów w aplikacjach metodą Lee-Schetzena .
Szereg Wienera jest ważny w identyfikacji systemów nieliniowych . W tym kontekście szereg przybliża funkcjonalną relację wyjścia do całej historii wejść systemu w dowolnym momencie. Seria Wienera została zastosowana głównie do identyfikacji systemów biologicznych, zwłaszcza w neuronauce .
Nazwa serii Wienera jest używana prawie wyłącznie w teorii systemów . W literaturze matematycznej występuje jako rozwinięcie Itô (1951), które ma inną postać, ale jest jej całkowicie równoważne.
Szeregu Wienera nie należy mylić z filtrem Wienera , który jest kolejnym algorytmem opracowanym przez Norberta Wienera, używanym w przetwarzaniu sygnałów.
Wyrażenia G-funkcjonalne Wienera
uwagę system z parą wejście / wyjście, o zerowej wartości średniej i można zapisać wynik systemu jako sumę szeregu funkcjonałów G Wienera
Poniżej zostaną podane wyrażenia funkcjonałów G do piątego rzędu:
Wiener, Norbert (1958). Problemy nieliniowe w teorii losowości . Wiley i MIT Press.
Lee i Schetzen; Schetzen‡, M. (1965). „Pomiar jąder Wienera systemu nieliniowego metodą korelacji krzyżowej”. Międzynarodowy Dziennik Kontroli . Pierwszy. 2 (3): 237–254. doi : 10.1080/00207176508905543 .
Itô K „Cała wielokrotna Wienera” J. Math. soc. Jpn. 3 1951 157–169
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9203f29478e73c5ab5163580b3bd3aab3f2469bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3433f80b66008362b9a97a6c615e43ec111abc63)