Siatka metryczna

Przykładowa funkcja wyceny na siatce sześcianu, która czyni ją siatką metryczną.

W matematycznym badaniu porządku , krata metryczna L jest kratą dopuszczającą pozytywne wartościowanie : funkcja v ∈ L →ℝ spełniająca, dla dowolnego a , b ∈ L ,

$${\ Displaystyle v (a) + v (b) = v (a \ klin b) + v (a \ vee b )}$$

I

$${\ Displaystyle {a> b} \ Strzałka w prawo v (a)> v (b) {\ tekst {.}}}$$

Stosunek do innych pojęć

Krata zawierająca N5 (przedstawiona) nie może być kratą metryczną, ponieważ v ( d )+ v ( c ) = v ( e ) + v ( a ) = v ( b )+ v ( c ) implikuje v ( d ) = v ( b ), sprzeczne v ( re ) < v ( b ).

Algebra Boole'a to krata metryczna; każda miara skończenie addytywna na jej podwójnej kamiennej daje wycenę.

Każda krata metryczna jest siatką modułową , por. dolny rysunek. Jest to również przestrzeń metryczna , której funkcją odległości jest dana przez

$${\ Displaystyle d (x, y) = v (x \ vee y) -v (x \ klin y) {\ tekst {.}}}$$

W przypadku tej metryki złączenie i spotkanie są jednostajnie ciągłymi skurczami , a zatem rozciągają się na zakończenie metryki (przestrzeń metryczna) . Ta krata zwykle nie jest uzupełnieniem Dedekinda-MacNeille'a , ale jest warunkowo zupełna .

Aplikacje

W badaniu logiki rozmytej i arytmetyki przedziałowej przestrzeń rozkładów jednostajnych jest kratą metryczną. Kraty metryczne są również kluczem do konstrukcji ciągłej geometrii rzutowej von Neumanna . Funkcja spełnia jednowymiarowe równanie falowe wtedy i tylko wtedy, gdy jest wartościowaniem dla sieci współrzędnych czasoprzestrzennych o naturalnym rzędzie częściowym. Podobny wynik powinien odnosić się do każdego równania różniczkowego cząstkowego , które można rozwiązać metodą charakterystyk , ale brakuje kluczowych cech teorii.