Siatka półmodułowa

_{Wyśrodkowana} sześciokątna siatka S7 , znana również jako D2 , jest półmodułowa, ale nie modułowa _.

W gałęzi matematyki znanej jako teoria porządku , półmodułowa krata , to krata spełniająca następujący warunek:

Prawo semimodularne: a ∧ b <: a implikuje b <: a ∨ b .

Zapis a <: b oznacza, że b obejmuje a , czyli a < b i nie ma elementu c takiego, że a < c < b .

Atomistyczna (stąd algebraiczna ) półmodułowa ograniczona krata nazywana jest kratą matroidową , ponieważ takie kraty są równoważne (prostym) matroidom . Atomistyczna półmodułowa ograniczona sieć o skończonej długości nazywana jest siecią geometryczną i odpowiada matroidowi o skończonej randze.

Sieci półmodułowe są również znane jako kraty półmodułowe górne; podwójne pojęcie dotyczy niższej sieci semimodularnej . Skończona krata jest modułowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno górna, jak i dolna półmodułowa.

Skończona krata lub bardziej ogólnie krata spełniająca warunek łańcucha rosnącego lub warunku łańcucha malejącego jest semimodularna wtedy i tylko wtedy, gdy jest M-symetryczna . Niektórzy autorzy określają sieci M-symetryczne jako sieci semimodularne.

Stan Birkhoffa

Sieć jest czasami nazywana słabo semimodularną , jeśli spełnia następujący warunek ze względu na Garretta Birkhoffa :

Warunek Birkhoffa: Jeżeli a ∧ b <: a i a ∧ b <: b ,; to a <: a ∨ b i b <: a ∨ b .

Każda sieć semimodularna jest słabo semimodularna. Odwrotna sytuacja jest prawdziwa dla sieci o skończonej długości, a bardziej ogólnie dla górnych ciągłych (spotyka się z rozmieszczeniem na połączeniach łańcuchów) relatywnie atomowych sieci.

Stan Mac Lane'a

Następujące dwa warunki są sobie równoważne dla wszystkich krat. Zostały one znalezione przez Saundersa Mac Lane'a , który szukał warunku równoważnego semimodularności dla skończonych krat, ale bez relacji pokrycia.

Warunek Mac Lane'a 1: Dla każdego a, b, c takiego, że b ∧ c < a < c < b ∨ a ,; istnieje element d taki, że b ∧ c < d ≤ b i a = ( a ∨ d ) ∧ c .
Warunek Mac Lane'a 2: Dla dowolnych a, b, c takich, że b ∧ do < za < do < b ∨ do ,; istnieje element re taki, że b ∧ do < re ≤ b i za = ( za ∨ re ) ∧ do .

Każda krata spełniająca warunek Mac Lane'a jest półmodułowa. Odwrotnie jest w przypadku sieci o skończonej długości, a bardziej ogólnie w przypadku sieci relatywnie atomowych . Co więcej, każda górna ciągła krata spełniająca warunek Mac Lane'a jest M-symetryczna.

Notatki

Fofanova, TS (2001) [1994], „Semi-modular krata” , Encyklopedia matematyki , EMS Press . (Artykuł dotyczy sieci M-symetrycznych).
Stern, Manfred (1999), Półmodułowe kraty , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46105-4 .

Linki zewnętrzne

Zobacz też

Antymatroid