Silnia naprzemienna

W matematyce silnia naprzemienna jest wartością bezwzględną sumy naprzemiennej pierwszych n silni dodatnich liczb całkowitych .

Jest to to samo, co ich suma, z silniami o indeksach nieparzystych pomnożonymi przez -1 , jeśli n jest parzyste , a silniami o parzystych indeksach pomnożonymi przez -1, jeśli n jest nieparzyste, co skutkuje przemianą znaków sum (lub przemianą operatorów dodawania i odejmowania, jeśli są preferowane). Ujmując to algebraicznie,

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {af} (n) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} (-1) ^ {ni} i!}

lub z relacją rekurencyjną

{\ Displaystyle \ operatorname {af} (n) = n! - \ operatorname {af} (n-1)}

w którym f(1) = 1.

Kilka pierwszych naprzemiennych silni to

1 , 1, 5 , 19 , 101 , 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (sekwencja A005165 w OEIS )

Na przykład trzecia silnia naprzemienna to 1! – 2! + 3!. Czwarta silnia naprzemienna to -1! + 2! − 3! + 4! = 19. Niezależnie od parzystości n , ostatnia ( n -ta) suma, n !, ma znak dodatni, ( n - 1)-ta suma jest ujemna, a znaki sum o niższym indeksie są odpowiednio zastępowane.

Ten wzór naprzemienności zapewnia, że wszystkie otrzymane sumy są dodatnimi liczbami całkowitymi. Zmiana reguły tak, aby nieparzyste lub parzyste sumy otrzymały znaki ujemne (niezależnie od parzystości n ) zmienia znaki wynikowych sum, ale nie ich wartości bezwzględne.

Miodrag Zivković udowodnił w 1999 r., Że istnieje tylko skończona liczba naprzemiennych silni, które są również liczbami pierwszymi , ponieważ 3612703 dzieli af (3612702), a zatem dzieli af ( n ) dla wszystkich n ≥ 3612702. Od 2006 r. znane liczby pierwsze i prawdopodobne liczby pierwsze to af( n ) dla (sekwencja A001272 w OEIS )

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164

Tylko wartości do n = 661 zostały udowodnione jako pierwsze w 2006 r. af(661) wynosi około 7,818097272875 × 10 ¹⁵⁷⁸ .