Stożek von Staudta
W geometrii rzutowej stożek von Staudta to zbiór punktów zdefiniowany przez wszystkie punkty bezwzględne biegunowości, która ma punkty bezwzględne. W rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej stożek von Staudta jest przekrojem stożkowym w zwykłym znaczeniu. W bardziej ogólnych płaszczyznach rzutowych nie zawsze tak jest. Karl Georg Christian von Staudt wprowadził tę definicję w Geometrie der Lage (1847) jako część swojej próby usunięcia wszystkich pojęć metrycznych z geometrii rzutowej.
polaryzacje
Biegunowość π płaszczyzny rzutowej P jest inwolucyjną (tj. rzędu drugiego) bijekcją między punktami i prostymi płaszczyzny P , która zachowuje relację padania . Zatem biegunowość wiąże punkt Q z linią q i idąc za Gergonne , q nazywa się biegunem Q , a Q biegunem q . Absolutny punkt ( linia ) biegunowości to taka, która zachodzi z biegunem (biegunem).
Polaryzacja może mieć punkty bezwzględne lub nie. Biegunowość z punktami absolutnymi nazywana jest polaryzacją hiperboliczną , a polaryzacja bez punktów absolutnych nazywana jest polaryzacją eliptyczną . W złożonej płaszczyźnie rzutowej wszystkie biegunowości są hiperboliczne, ale w rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej tylko niektóre są.
Klasyfikacja biegunowości nad dowolnymi polami wynika z klasyfikacji form seskwiliniowych podanej przez Birkhoffa i von Neumanna. Biegunowości ortogonalne, odpowiadające symetrycznym formom dwuliniowym, nazywane są również polaryzacjami zwyczajnymi , a zbiór punktów absolutnych tworzy niezdegenerowany stożek (zbiór punktów, których współrzędne spełniają nieredukowalne jednorodne równanie kwadratowe), jeśli pole nie ma charakterystycznej dwójki . W charakterystyce drugiej biegunowości ortogonalne nazywane są pseudobiegunowościami , aw płaszczyźnie punkty bezwzględne tworzą linię.
Skończone płaszczyzny rzutowe
Jeśli π jest biegunowością skończonej płaszczyzny rzutowej (która nie musi być desarguesowska), P , rzędu n , to liczba jej punktów absolutnych (lub linii absolutnych), a ( π ) jest dana wzorem:
- za ( π ) = n + 2 r √ n + 1 ,
gdzie r jest nieujemną liczbą całkowitą. Ponieważ a ( π ) jest liczbą całkowitą, a ( π ) = n + 1 , jeśli n nie jest kwadratem, iw tym przypadku π nazywamy biegunowością ortogonalną .
R. Baer wykazał, że jeśli n jest nieparzyste, punkty bezwzględne biegunowości ortogonalnej tworzą owal (tj. n + 1 punktów, nie ma trzech współliniowych ), natomiast jeśli n jest parzyste, punkty bezwzględne leżą na linia.
Podsumowując, stożki von Staudta nie są owalami w skończonych płaszczyznach rzutowych (desarguesowskich lub nie) parzystego rzędu.
Stosunek do innych rodzajów stożków
Na płaszczyźnie Pappiana (tj. płaszczyźnie rzutowej skoordynowanej przez pole ), jeśli pole nie ma charakterystycznej dwójki, stożek von Staudta jest równoważny stożkowi Steinera . Jednak R. Artzy wykazał, że te dwie definicje stożków mogą wytwarzać obiekty nieizomorficzne w (nieskończonych) płaszczyznach Moufanga .
Notatki
- Coxeter, HSM (1964), Geometria rzutowa , Blaisdell
- Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275
- Garner, Cyril WL. (1979), „Stożki w płaszczyznach rzutowych skończonych”, Journal of Geometry , 12 (2): 132–138, doi : 10,1007 / bf01918221
Dalsza lektura
- Ostrom, TG (1981), „Conicoids: Conic-like figures in non-Pappian płaszczyzn”, w: Plaumann, Peter; Strambach, Karl (red.), Geometria - punkt widzenia von Staudta , D. Reidel, s. 175–196, ISBN 90-277-1283-2