Struktura dziennika

W geometrii algebraicznej struktura logarytmiczna zapewnia abstrakcyjny kontekst do badania schematów półstabilnych, aw szczególności pojęcia logarytmicznej formy różniczkowej i powiązanych koncepcji teorii Hodge'a . Pomysł ten ma zastosowanie między innymi w teorii przestrzeni modułowych , w teorii deformacji i p-adycznej teorii Hodge'a Fontaine'a .

Motywacja

Pomysł polega na zbadaniu pewnej odmiany algebraicznej (lub schematu ) U , która jest gładka , ale niekoniecznie właściwa , poprzez osadzenie jej w X , która jest właściwa, a następnie przyjrzenie się pewnym snopom na X. Problem polega na tym, że podsnop składający się z funkcji, których ograniczenie do U jest odwracalne $,$ nie jest snopem pierścieni (ponieważ dodanie dwóch niezanikających funkcji mogłoby który znika), a my otrzymujemy tylko snop submonoidów multiplikatywnie ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}} .$ $\$ tej dodatkowej struktury na X odpowiada zapamiętaniu inkluzji $styl wyświetlania D=XU}$ X z tą strukturą do rozmaitości z granicą (odpowiadającą ${$ ).

Definicja

Niech X będzie schematem. Struktura pre-logarytmiczna na X składa się ze snopka (przemiennych) monoidów $na$ X wraz z homomorfizmem monoidów $} \ do {\ mathcal {O}} _ {X}}$ $okrężnica { \mathcal {M$ $gdzie$ jest uważany za monoid przy mnożeniu funkcji.

Struktura dziennika wstępnego $)}$ ${\ Displaystyle \ alfa \ dwukropek \ alfa ^ {- 1} ({\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ razy}) \ do {\ mathcal {O}} _ { X}^{\razy}}$ $alfa$ jest strukturą logarytmiczną , jeśli dodatkowo indukuje izomorfizm .

Morfizm struktur (przed) logarytmicznych polega na homomorfizmie snopów monoidów dojeżdżających z $.$ do

Schemat dziennika to po prostu schemat wyposażony w strukturę dziennika.

Przykłady

Dla dowolnego schematu X można zdefiniować trywialną strukturę dziennika na X , biorąc ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ razy}}$ i być tożsamością. ${\ displaystyle \ alpha}$
Motywujący przykład definicji struktury dziennika pochodzi z półstabilnych schematów. Niech X $,$ schematem, włączeniem otwartego podschematu $D = XU}$ z dopełnieniem z normalnymi przejściami Displaystyle . Z tą sytuacją związana jest logarytmiczna struktura, która wygląda następująco: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ mathcal {O}} _ {X} \ cap j_ {*} {\ mathcal {O}} _ {U} ^ {\ razy}}$ z ${ \ displaystyle \ alpha}$ po prostu morfizm włączenia do ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ . Nazywa się to kanoniczną (lub standardową ) strukturą dziennika na X powiązaną z D .
Niech R będzie dyskretnym pierścieniem wartościowania , z polem pozostałości k i polem ułamkowym K . Wtedy $się$ struktura dziennika składa włączenia ${0 \}}$ a nie ${\ Displaystyle R ^ {\ razy}}$ !) wewnątrz ${\ Displaystyle R}$ . W rzeczywistości jest to przykład poprzedniej konstrukcji, ale biorąc ${\ Displaystyle j \ okrężnica \ operatorname {Spec} (K) \ do \ operatorname {Spec } (R)}$ .
Mając R jak powyżej, można również zdefiniować pustą strukturę bali na , biorąc ten sam snop monoidów, co poprzednio, ale zamiast tego wysyłając maksymalny ideał S $(R)}$ R do 0.

Aplikacje

Jednym z zastosowań struktur logarytmicznych jest możliwość definiowania form logarytmicznych (zwanych także formami różniczkowymi z biegunami logarytmicznymi) na dowolnym schemacie logarytmicznym. Na tej podstawie można na przykład zdefiniować gładkość logarytmiczną i logarytmiczną , uogólniając pojęcia morfizmów gładkich i morfizmów étale . To z kolei pozwala na badanie teorii deformacji .

Ponadto struktury logarytmiczne służą do zdefiniowania mieszanej struktury Hodge'a na dowolnej gładkiej rozmaitości zespolonej X , poprzez kompaktację z granicą a normalnym dzielnikiem przecięć D i zapisanie odpowiedniego logarytmicznego zespołu de Rham .

Logarytmiczne obiekty pojawiają się też naturalnie jako obiekty na granicy przestrzeni modułowych , czyli z degeneracji.

Geometria logarytmiczna pozwala również na zdefiniowanie kohomologii log-krystalicznej, analogu kohomologii krystalicznej , która ma dobre zachowanie dla odmian, które niekoniecznie są gładkie, tylko logarytmiczne. Ma to następnie zastosowanie do teorii reprezentacji Galois , a zwłaszcza półstabilnych reprezentacji Galois.

Zobacz też

Geometria dziennika
Schemat półtrwały
Kohomologia log-krystaliczna