Suma Kroneckera dyskretnych Laplacian

W matematyce suma Kroneckera dyskretnych Laplacian , nazwana na cześć Leopolda Kroneckera , jest dyskretną wersją separacji zmiennych dla ciągłego Laplace'a w prostokątnej domenie prostopadłościanu .

Ogólna postać sumy Kroneckera dyskretnych Laplacian

W ogólnej sytuacji separacji zmiennych w przypadku dyskretnym wielowymiarowy dyskretny laplacian jest sumą Kroneckera 1D dyskretnych laplacianów.

Przykład: dyskretny Laplacian 2D na regularnej siatce z jednorodnym warunkiem brzegowym Dirichleta

Matematycznie, używając sumy Kroneckera :

${\ Displaystyle L = \ mathbf {D_ {xx}} \ oplus \ mathbf {D_ {yy}} = \ mathbf {D_ {xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

gdzie i $y$ 1D $\displaystyle \mathbf {I}}$$a$ w x i ${$ _ to tożsamości o odpowiednich rozmiarach. Zarówno ${\ Displaystyle \ mathbf {D_ {xx}}},$ jak i ${\ Displaystyle \ mathbf {D_ {xx}}}$ odpowiadać przypadkowi jednorodności re Warunek brzegowy Dirichleta w punktach końcowych przedziałów x i y , w celu wygenerowania dwuwymiarowego dyskretnego L Laplace'a odpowiadającego jednorodnemu warunkowi brzegowemu Dirichleta wszędzie na granicy domeny prostokątnej.

Oto przykładowy kod OCTAVE / MATLAB do obliczenia L na zwykłej siatce 2D 10 × 15:

   
   
  
      0    
  nx  =  10  ;  % liczby punktów siatki w kierunku x;  ny  =  15  ;  % liczba punktów siatki w kierunku y;  ex  =  jedynki  (  nx  ,  1  );  Dxx  =  spdiags  ([  ex  -  2  *  ex  ex  ],  [  -  1  1  ],  nx  ,  nx  );  %1D dyskretny Laplacian w kierunku x;  ej  =  
      0    
       jedynki  (  ny  ,  1  );  Dyy  =  spdiags  ([  ey  ,  -  2  *  ey  ey  ],  [  -  1  1  ],  ny  ,  ny  );  %1D dyskretny Laplacian w kierunku y;  L  =  kron  (  Dyy  ,  speye  (  nx  ))  +  kron  (  speye  (  ny  ),  Dxx  )   ; 

Wartości własne i wektory własne wielowymiarowego dyskretnego Laplace'a na siatce regularnej

Znając wszystkie wartości własne i wektory własne czynników, można jawnie obliczyć wszystkie wartości własne i wektory własne produktu Kroneckera . Na tej podstawie można również jawnie obliczyć wartości własne i wektory własne sumy Kroneckera .

Wartości własne i wektory własne aproksymacji standardowej różnicy środkowej drugiej pochodnej przedziału dla tradycyjnych kombinacji warunków brzegowych w punktach końcowych przedziału są dobrze znane . Łącząc te wyrażenia ze wzorami wartości własnych i wektorów własnych dla sumy Kroneckera , można łatwo uzyskać wymaganą odpowiedź.

Przykład: dyskretny Laplacian 3D na regularnej siatce z jednorodnym warunkiem brzegowym Dirichleta

${\ Displaystyle L = \ mathbf {D_ {xx}} \ czasami \ mathbf {I} \ czasami \ mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{zz}} , \,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {D_ {xx}} \ \ mathbf {D_ {yy}}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {D_ {zz}}}$ są dyskretne 1D Laplacianie w każdym z 3 kierunków i są tożsamościami o odpowiednich $.$ Każdy dyskretny Laplacian 1D musi odpowiadać przypadkowi jednorodnego warunku brzegowego Dirichleta , aby wygenerować dyskretny 3D Laplacian L odpowiadający jednorodnemu Warunek brzegowy Dirichleta wszędzie na granicy. Wartości własne są

${\ Displaystyle \ lambda _ {jx, jy, jz} = - {\ Frac {4} {h_ {x} ^ {2}}} \ sin \left({\frac {\pi j_{x}}{2(n_{x}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{y}^{2} }}\sin \left({\frac {\pi j_{y}}{2(n_{y}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{z}^ {2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{z}}{2(n_{z}+1)}}\right)^{2}}$

gdzie ${\ Displaystyle j_ {x} = 1, \ ldots, n_ {x}, \ ,j_{y}=1,\ldots ,n_{y},\,j_{z}=1,\ldots ,n_{z},\,} , a odpowiadające im wektory własne$ to

${\ Displaystyle v_ {ix, iy, iz, jx, jy, jz} = {\ sqrt {\ Frac {2} {n_ { x}+1}}}\sin \left({\frac {i_{x}j_{x}\pi }{n_{x}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{n_ {y}+1}}}\sin \left({\frac {i_{y}j_{y}\pi }{n_{y}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{ n_{z}+1}}}\sin \left({\frac {i_{z}j_{z}\pi }{n_{z}+1}}\right)}$

$iy,iz}}$ wieloindeksowy $ja$ własne, podczas gdy wieloindeksowy $ix$ określa położenie wartości każdego wektora własnego na siatce regularnej . Punkty brzegowe, w których narzucony jest jednorodny warunek brzegowy Dirichleta , znajdują się tuż poza siatką.

Dostępne oprogramowanie

Kod OCTAVE / MATLAB http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27279-laplacian-in-1d-2d-or-3d jest dostępny na licencji BSD , który oblicza rzadką macierz 1, 2D, i 3D ujemne Laplacians na prostokątnej siatce dla kombinacji Dirichleta, Neumanna i okresowych warunków brzegowych przy użyciu sum Kroneckera dyskretnych 1D Laplacians. Kod zapewnia również dokładne wartości własne i wektory własne przy użyciu jawnych wzorów podanych powyżej.