Wartości własne i wektory własne drugiej pochodnej

Wyraźne wzory na wartości własne i wektory własne drugiej pochodnej z różnymi warunkami brzegowymi podano zarówno dla przypadków ciągłych, jak i dyskretnych. W przypadku dyskretnym stosuje się standardowe przybliżenie drugiej pochodnej z różnicą centralną na siatce jednolitej.

Wzory te służą do wyprowadzania wyrażeń na funkcje własne laplaciana w przypadku separacji zmiennych , a także do znajdowania wartości własnych i wektorów własnych wielowymiarowego dyskretnego laplaciana na siatce foremnej , która jest przedstawiona jako suma Kroneckera dyskretnych laplacianów w jednym wymiarze .

Ciągły przypadek

Indeks j reprezentuje j-tą wartość własną lub wektor własny i biegnie od 1 do ${\ displaystyle \ infty}$ . $znormalizowane$ , że równanie jest zdefiniowane w domenie , wartości własne i Wartości własne są uporządkowane malejąco.

Czyste warunki brzegowe Dirichleta

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {j ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle v_ {j} (x) = {\ sqrt {\ Frac {2} {L}}} \ sin \ lewo ({\ Frac {j \ pi x }{L}}\prawo)}$

Czyste warunki brzegowe Neumanna

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {(j-1) ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2} }}}}$

${\ Displaystyle v_ {j} (x) = \ lewo \ {{\ begin{tablica}{lr}L^{-{\frac {1}{2}}}&j=1\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac { (j-1)\pi x}{L}}\right)&{\mbox{inaczej}}\end{tablica}}\right.}$

Okresowe warunki brzegowe

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica} {lr} - {\ Frac {j ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} i { \mbox{j jest parzyste.}}\\-{\frac {(j-1)^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}&{\mbox{j jest nieparzyste.} }\end{tablica}}\prawo.}$

(To znaczy: ${\ Displaystyle 0}$ jest prostą wartością własną, a wszystkie dalsze wartości własne są podane przez ${\ Displaystyle {\ Frac {j ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2} }}}}$ , ${\ Displaystyle j = 1,2, \ ldots}$ , każdy z krotnością 2).

${\ Displaystyle v_ {j} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} L ^ {- {\ Frac {1} {2}}} & {\ mbox {jeśli}} j = 1. \\ {\ sqrt { \frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}}\right)&{\mbox{ jeśli j jest parzyste.}}\\{\sqrt {\ frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(j-1)\pi x}{L}}\right)&{\mbox{ jeśli j jest nieparzyste.}}\end{przypadki }}}$

Mieszane warunki brzegowe Dirichleta-Neumanna

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {(2j-1) ^ {2} \ pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle v_ {j} (x) = {\ sqrt {\ Frac {2} {L }}}\sin \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2L}}\right)}$

Mieszane warunki brzegowe Neumanna-Dirichleta

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {(2j-1) ^ {2} \ pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle v_ {j} (x) = {\ sqrt {\ Frac {2} {L }}}\cos \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2L}}\right)}$

Dyskretny przypadek

Notacja: Indeks j reprezentuje j-tą wartość własną lub wektor własny. Indeks i reprezentuje i-tą składową wektora własnego. Zarówno i, jak i j przechodzą od 1 do n, gdzie macierz ma rozmiar nx n. Wektory własne są znormalizowane. Wartości własne są uporządkowane malejąco.

Czyste warunki brzegowe Dirichleta

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2 } \ lewo ({\ Frac {\ pi j} {2 (n + 1)}} \ prawej)}$

${\ Displaystyle v_ {i j}={\sqrt {\frac {2}{n+1}}}\sin \left({\frac {ij\pi }{n+1}}\right)}$

Czyste warunki brzegowe Neumanna

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2 }\left({\frac {\pi (j-1)}{2n}}\right)}$

${\ Displaystyle v_ {i, j} = {\ rozpocząć {przypadki} n ^ {- {\ Frac {1} {2}}} & {\ mbox {j = 1}} \\ { \sqrt {\frac {2}{n}}}\cos \left({\frac {\pi (j-1)(i-0.5)}{n}}\right)&{\mbox{inaczej}} \end{przypadki}}}$

Okresowe warunki brzegowe

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = {\ rozpocząć {przypadki} - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ pi (j-1 )}{2n}}\right)&{\mbox{ jeśli j jest nieparzyste.}}\\-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi j}{2n}}\right)&{\mbox{ jeśli j jest parzyste.}}\end{przypadki}}}$

(Zauważ, że wartości własne są powtarzane z wyjątkiem 0 i największej, jeśli n jest parzyste).

${\ Displaystyle v_ {i, j} = {\ rozpocząć {przypadki} n ^ {- {\ Frac {1} {2}}} & {\ mbox {jeśli}} j = 1. \\ n ^ {- { \frac {1}{2}}}(-1)^{i}&{\mbox{if }}j=n{\mbox{ a n jest parzyste.}}\\{\sqrt {\frac {2 }{n}}}\sin \left({\frac {\pi (i-0.5)j}{n}}\right)&{\mbox{ inaczej, jeśli j jest parzyste.}}\\{\sqrt { \frac {2}{n}}}\cos \left({\frac {\pi (i-0.5)(j-1)}{n}}\right)&{\mbox{ inaczej, jeśli j jest nieparzyste. }}\end{przypadki}}}$

Mieszane warunki brzegowe Dirichleta-Neumanna

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2}\left({\frac {\pi (j-{\frac {1}{2}})}{2n+1}}\right)}$

${\ Displaystyle v_ {i, j} = {\ sqrt {\ Frac {2} {n + 0,5}}} \ sin \ lewo ({\ Frac {\ pi i(2j-1)}{2n+1}}\prawo)}$

Mieszane warunki brzegowe Neumanna-Dirichleta

${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2}\left({\frac {\pi (j-{\frac {1}{2}})}{2n+1}}\right)}$

${\ Displaystyle v_ {i, j} = {\ sqrt {\ Frac {2} {n + 0,5}}} \ bo \ lewo ({\ frac {\pi (i-0.5)(2j-1)}{2n+1}}\right)}$

Wyprowadzanie wartości własnych i wektorów własnych w przypadku dyskretnym

Sprawa Dirichleta

Rozwiązujemy przypadek dyskretny 1D z warunkami brzegowymi Dirichleta

${\ Displaystyle {\ Frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = \ lambda v_ {k},\ k=1,...,n,\ v_{0}=v_{n+1}=0.}$

Zmieniając warunki, otrzymujemy

${\ Displaystyle v_ {k + 1} = (2 + h ^ {2} \ lambda) v_ {k} -v_ {k-1}. \!}$

Teraz niech ${\ Displaystyle 2 \ alfa = (2 + h ^ {2} \ lambda)}$ . Zakładając również $= 1 }$ możemy skalować wektory własne przez dowolny niezerowy skalar, więc skaluj $,$ v $Displaystyle v_$ .

Następnie znajdujemy powtórzenie

${\ Displaystyle v_ {0} = 0 \, \!}$

${\ displaystyle v_ {1} = 1. \, \!}$

${\ Displaystyle v_ {k + 1} = 2 \ alfa v_ {k} -v_ {k-1} \, \!}$

Biorąc pod uwagę jako nieokreślony, ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle v_ {k + 1} = U_ {k} (\ alfa) \, \!}$

gdzie $wielomianem$ -tym Czebyszewa drugiego rodzaju.

Ponieważ ${\ displaystyle v_ {n + 1} = 0}$ , otrzymujemy to

${\ Displaystyle U_ {n} (\ alfa) = 0 \, \!$ }

Jest oczywiste, że wartościami własnymi naszego problemu będą zera n-tego wielomianu Czebyszewa drugiego rodzaju, z zależnością ${\ Displaystyle 2 \ alfa = (2 + h ^ {2 }\lambda )}$ .

Te zera są dobrze znane i są to:

${\ Displaystyle \ alfa _ {k} = \ cos \ lewo ({\ Frac {k \ pi} {n + 1}} \ prawo). \, \!}$

Podłączając je do wzoru na , ${\ displaystyle \ lambda$ }

${\ Displaystyle 2 \ sałata \ lewo ({\ Frac {k \ pi} {n + 1}} \ prawej) = h ^ {2} \ lambda _ {k}+2\,\!}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = - {\ Frac {2} {h ^ {2}}} \ lewo [1- \ cos \ lewo ({\ Frac {k \ pi} {n + 1}} \ dobrze)\prawo].\,\!}$

Używając wzoru trygonometrycznego dla uproszczenia, znajdujemy

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ lewo ({\ Frac {k \ pi} {2 (n + 1)} }\Prawidłowy).\,\!}$

Sprawa Neumanna

W przypadku Neumanna rozwiązujemy

${\ Displaystyle {\ Frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = \lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v'_{0.5}=v'_{n+0.5}=0.\,\!}$

W standardowej dyskretyzacji wprowadzamy i definiujemy ${\ displaystyle v_ {0} \, \!}$ i ${\ displaystyle v_ {n + 1} \, \!}$

${\ Displaystyle v'_ {0,5}: = {\ Frac {v_ {1} -v_ {0} }{h}},\ v'_{n+0.5}:={\frac {v_{n+1}-v_{n}}{h}}\,\!}$

Warunki brzegowe są wtedy równoważne

${\ Displaystyle v_ {1} -v_ {0} = 0, \ v_ {n + 1} -v_ {n} = 0.}$

Jeśli dokonamy zmiany zmiennych,

$\ k = 0, ..., n \, \!}$

możemy wywnioskować, co następuje:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w 2} {2} {\ Frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} & = \ lambda v_ {k }\\v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}&=h^{2}\lambda v_{k}\\(v_{k+1}-v_{k})- (v_{k}-v_{k-1})&=h^{2}\lambda v_{k}\\w_{k}-w_{k-1}&=h^{2}\lambda v_{ k}\\&=h^{2}\lambda w_{k-1}+h^{2}\lambda v_{k-1}\\&=h^{2}\lambda w_{k-1} +w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{k}&=(2+h^{2}\lambda )w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{ k+1}&=(2+h^{2}\lambda )w_{k}-w_{k-1}\\&=2\alpha w_{k}-w_{k-1}.\end{ wyrównane}}}$

gdzie ${\ displaystyle w_ {n} = w_ {0}=0}$ to warunki brzegowe.

To jest dokładnie wzór Dirichleta z $siatki$ punktami i $.$ Podobnie do tego, co widzieliśmy powyżej, zakładając, że otrzymujemy ${\ Displaystyle w_ {1} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ lewo ({\ Frac {k \ pi}} {2n} }\prawo),\ k=1,...,n-1.}$

To daje nam wartości własne i są $1 }$$displaystyle n$ . $,$${\ Displaystyle v_ {k} = \ operatorname {stała} \ \ forall \ k = 0, ..., n + 1,}$ założenie, że znajdziemy również rozwiązanie i odpowiada to wartości własnej ${\ displaystyle 0}$ .

Ponowne oznakowanie indeksów w powyższym wzorze i połączenie z zerową wartością własną otrzymujemy,

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ lewo ({\ Frac {(k-1) \ pi} {2n}} \po prawej),\ k=1,...,n.}$

Sprawa Dirichleta-Neumanna

Rozwiązujemy przypadek Dirichleta-Neumanna

${\ Displaystyle {\ Frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = \ lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v_{0}=v'_{n+0,5}=0.}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle v'_ {n + 0,5}: = {\ Frac {v_ {n + 1} -v_ {n}} {h}}.}$

Musimy wprowadzić zmienne pomocnicze ${\ Displaystyle v_ {j + 0,5}, \ j = 0, ..., n.}$

Rozważ powtarzalność

${\ Displaystyle v_ {k + 0,5} = 2 \ beta v_ {k} -v_ {k-0,5}, {\ tekst {dla niektórych} }\beta \,\!}$ .

Wiemy też, że $tak$$\$ displaystyle v_ $}$ że ${\ displaystyle v_ {0,5} = 1.}$

Możemy też pisać

${\ Displaystyle v_ {k} = 2 \ beta v_ {k-0,5} -v_ {k-1} \ \!}$

${\ Displaystyle v_ {k + 1} = 2 \ beta v_ {k + 0,5} -v_ {k}. \, \!}$

Biorąc prawidłową kombinację tych trzech równań, możemy otrzymać

${\ Displaystyle v_ {k + 1} = (4 \ beta ^ {2} -2) v_ {k} -v_ {k-1}. \, \!}$

I tak nasza nowa rekurencja rozwiąże nasz problem z wartością własną kiedy

${\ Displaystyle h ^ {2} \ lambda + 2 = (4 \ beta ^ {2} -2). \, \!}$

Rozwiązując dla otrzymujemy ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {4 (\ beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}.}$

Nasza nowa rekurencja daje

${\ Displaystyle v_ {n + 1} = U_ {2n + 1} (\ beta), \ v_ { n}=U_{2n-1}(\beta ),\,\!}$

gdzie $tym$ k- wielomianem rodzaju

A łącząc z naszym warunkiem brzegowym Neumanna, mamy

${\ Displaystyle U_ {2n + 1} (\ beta) -U_ {2n-1} (\ beta) = 0. \, \ !}$

Dobrze znany wzór wiąże wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju z wielomianami drugiego rodzaju przez ${\ displaystyle T_ {k} (\ beta)}$

${\ Displaystyle U_ {k} (\ beta) -U_ {k-2} (\ beta) = T_ {k} (\ beta). \, \!}$

W ten sposób nasze wartości własne rozwiązują się

${\ Displaystyle T_ {2n + 1} (\ beta) = 0, \ \ lambda = {\ Frac {4 (\ beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}. \, \!}$

Znane są również miejsca zerowe tego wielomianu

${\ Displaystyle \ beta _ {k} = \ cos \ lewo ({\ Frac {\ pi (k-0,5)} {2n + 1}} \ prawej), \ k = 1, ... ,2n+1\,\!}$

A zatem

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {2} \ lambda _ {k} & = {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ lewo [\ cos ^ {2} \ lewo ({\ frac { \pi (k-0.5)}{2n+1}}\right)-1\right]\\&=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left( {\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right).\end{wyrównanedat}}}$

Zauważ, że jest 2n + 1 tych wartości, ale tylko pierwsze n + 1 są unikalne. Wartość (n + 1) daje nam wektor zerowy jako wektor własny o wartości własnej 0, co jest trywialne. Można to zobaczyć, wracając do pierwotnego nawrotu. Dlatego uważamy tylko pierwsze n z tych wartości za n wartości własne problemu Dirichleta-Neumanna.

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = - {\ Frac {4} {h ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ pi (k-0,5)} {2n + 1 }}\prawo),\ k=1,...,n.}$