Superelipsoida

Kolekcja superelipsoid z parametrami wykładników, utworzona za pomocą POV-Ray . Tutaj e = 2/r i n = 2/t (odpowiednik r = 2/e i t = 2/n).

W matematyce superelipsoida (lub superelipsoida ) to bryła , której przekroje poziome są superelipsami (krzywe Lamégo) o tym samym parametrze kwadratowości i której przekroje pionowe przechodzące przez środek są superelipsami ${\ Displaystyle \ epsilon _ {2}}$ } z parametrem kwadratowości ${\ Displaystyle \ epsilon _ {1}}$ . Jest to uogólnienie elipsoidy, która jest szczególnym przypadkiem, gdy ${\ Displaystyle \ epsilon _ {1} = \ epsilon _ {2} = 1}$ .

Superelipsoidy jako prymitywy grafiki komputerowej zostały spopularyzowane przez Alana H. Barra (który użył nazwy „ superelipsoidy ” w odniesieniu zarówno do superelipsoid, jak i supertoroidów ). We współczesnej literaturze dotyczącej wizji komputerowej i robotyki superkwadry i superelipsoidy są używane zamiennie, ponieważ superelipsoidy są najbardziej reprezentatywnym i szeroko stosowanym kształtem spośród wszystkich superkwadryk.

Superelipsoidy mają bogate słownictwo dotyczące kształtów, w tym prostopadłościany, cylindry, elipsoidy, ośmiościany i ich elementy pośrednie. Staje się ważnym prymitywem geometrycznym szeroko stosowanym w wizji komputerowej, robotyce i symulacji fizycznej. Główną zaletą opisywania obiektów i otoczenia za pomocą superelipsoid jest jego zwięzłość i wyrazistość kształtu. Ponadto dostępne jest wyrażenie w postaci zamkniętej sumy Minkowskiego między dwiema superelipsoidami. To czyni go pożądanym prymitywem geometrycznym do chwytania robotów, wykrywania kolizji i planowania ruchu. Przydatne narzędzia i algorytmy do wizualizacji superkwadrycznej, próbkowania i odzyskiwania są dostępne tutaj .

Przypadki specjalne

Kilka godnych uwagi figur matematycznych może powstać jako specjalne przypadki superelipsoid, biorąc pod uwagę prawidłowy zestaw wartości, które przedstawiono na powyższej grafice:

• Cylinder
• Kula
• ciało stałe Steinmetza
• Bicone
• Regularny ośmiościan
• Sześcian jako przypadek graniczny, w którym wykładniki dążą do nieskończoności

Supereggs Pieta Heina są również szczególnymi przypadkami superelipsoid.

Formuły

Podstawowa (znormalizowana) superelipsoida

Podstawowa superelipsoida jest zdefiniowana przez funkcję ukrytą

${\ Displaystyle f (x, y, z) = \ lewo (x ^ {\ frac {2}{\epsilon _{2}}}+y^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\epsilon _{2}/\epsilon _{1}}+ z ^ {\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$

Parametry i $są$$.$ kwadratowość kształtu

Powierzchnia superelipsoidy jest określona równaniem:

${\ Displaystyle f (x, y, z) = 1}$

Dla dowolnego danego punktu ${\ Displaystyle (x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ punkt leży wewnątrz superelipsoidy, jeśli ${\ Displaystyle f (x, y, z) <1}$ i na zewnątrz, jeśli ${\ Displaystyle f (x, y, z)> 1}$ .

Każdy „ równoległość szerokości geograficznej $wykładnikiem$ superelipsoidy (przekrój poziomy przy dowolnej stałej a +1) jest krzywą Lamégo z , skalowanym przez ${\ Displaystyle a = (1-z ^ {\ Frac {2} {\ epsilon _ {1}}}) ^ {\ Frac {\ epsilon _ {1}} {2}}}$ , czyli

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {x} {a}} \ prawej) ^ {\ Frac {2} {\ epsilon _ {2 }}}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}=1.}$

Każdy „ południk długości geograficznej $współczynnik$ płaszczyznę pionową przechodzącą przez początek) jest krzywą Lamégo z wykładnikiem rozciągniętym poziomo o zależny płaszczyzna przekroju. Mianowicie, jeśli ${\ Displaystyle x = u \ cos \ theta}$ i ${\ Displaystyle y = u \ sin \ theta}$ , dla danego ${\ displaystyle \ theta}$ , to sekcja jest

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {u} {w}} \ prawej) ^ {\ Frac {2} {\ epsilon _ {1}}} +z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}=1,}$

Gdzie

${\ Displaystyle w = (\ cos ^ {\ Frac {2} {\ epsilon _ {2}}} \ theta + \ sin ^ {\ Frac {2} {\ epsilon _ {2}}} \ theta) ^ { -{\frac {\epsilon_{2}}{2}}}.}$

W szczególności, jeśli $.$ , przekroje poziome są okręgami, a poziome rozciąganie $pionowych$ wynosi 1 dla wszystkich płaszczyzn $wykładnik wokół$ superelipsoida jest obrotową , uzyskaną przez obrócenie krzywej Lamé o pionowej.

Superelipsoida

Podstawowy kształt powyżej rozciąga się od -1 do +1 wzdłuż każdej osi współrzędnych. $pół$$,$ się $skalowanie$ podstawowego kształtu osi przez -średnice powstałej bryły. Ukryta funkcja to

${\ Displaystyle F (x, y, z) = \ lewo (\ lewo ({\ Frac {x} {a_ {x}}} \ prawo) ^ {\ Frac {2} {\ epsilon _ {2}}} +\left({\frac {y}{a_{y}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\frac {\epsilon _{2} }{\epsilon _{1}}}+\left({\frac {z}{a_{z}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$ .

Podobnie powierzchnia superelipsoidy jest określona przez równanie

${\ Displaystyle F (x, y, z) = 1}$

Dla dowolnego danego punktu ${\ Displaystyle (x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ punkt leży wewnątrz superelipsoidy, jeśli ${\ Displaystyle f (x, y, z) <1}$ i na zewnątrz, jeśli ${\ Displaystyle f (x, y, z)> 1}$ .

Dlatego funkcja ukryta jest również nazywana funkcją wewnątrz-na zewnątrz superelipsoidy.

η ∈ $Displaystyle \ eta \ w [- \ pi / 2, \ pi / 2$${\ Displaystyle \ omega \ w [- \ pi, \ pi)}$ ) , .

${\ Displaystyle x (\ eta, \ omega) = a_ {x} \ sałata ^ {\ epsilon _ {1}} \ eta \ cos ^ {\ epsilon _ {2}} \ omega }$

${\ Displaystyle y (\ eta, \ omega) = a_ {y} \ cos ^ {\ epsilon _ {1}} \ eta \ sin ^ {\ epsilon _ {2}} \ omega}$

${\ Displaystyle Z (\ eta, \ omega) = a_ {z} \ sin ^ {\ epsilon _ {1}} \ eta}$

Ogólnie pozowana superelipsoida

W widzeniach komputerowych i zastosowaniach robotów superelipsoida z ogólną pozą w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest zwykle bardziej interesująca.

Dla danej transformacji euklidesowej układu superelipsoidy ${\ Displaystyle g = [\ mathbf {R} \ w SO (3), \ mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{3}]\in SE(3)}$ względem układu świata, ukryta funkcja ogólnie ustawionej powierzchni superelipsoidy definiującej układ świata to

${\ Displaystyle F \ lewo (g ^ {- 1} \ circ (x, y, z) \ prawo) = 1}$

gdzie ${\ Displaystyle \ circ} jest$ operacją transformacji, która odwzorowuje punkt ${\ Displaystyle (x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ układ świata w kanoniczny układ superelipsoidy.

Objętość superelipsoidy

$,$ powierzchnią superelipsoidy za funkcji

${\ Displaystyle V (\ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {2}, a_ {x}, a_ {y}, a_ {z}) = 2a_ {x} a_ {y} a_ {z} \ epsilon _ {1}\epsilon _{2}\beta ({\frac {\epsilon _{1}}{2}},\epsilon _{1}+1)\beta ({\frac {\epsilon _{2} }{2}},{\frac {\epsilon _{2}+2}{2}})}$

lub równoważnie z funkcją Gamma , ponieważ ${\ Displaystyle \ Gamma (\ cdot)}$

${\ Displaystyle \ beta (m, n) = {\ Frac {\ Gamma (m) \ Gamma (n)} {\ Gamma (m+n)}}}$

Odzyskiwanie z danych

Odzyskiwanie reprezentacji superelipsoidy (lub superkwadryki) z surowych danych (np. chmury punktów, siatki, obrazy i woksele) jest ważnym zadaniem w wizji komputerowej, robotyce i symulacjach fizycznych.

Tradycyjne metody obliczeniowe modelują problem jako problem najmniejszych kwadratów. $_ {2},a_{x},a_{y},a_{z},g]},$ znalezienie które minizieją funkcję celu. Inne niż parametry kształtu, ${\ displaystyle g \ in SE (3)}$ jest pozycją ramy superelipsoidy względem współrzędnej światowej.

Istnieją dwie powszechnie używane funkcje celu. Pierwszy jest konstruowany bezpośrednio w oparciu o funkcję implicit

${\ Displaystyle G_ {1} (\ theta )=a_{x}a_{y}a_{z}\suma _{i=1}^{N}\left(F^{\epsilon _{1}}\left(g^{-1}\ okrąg (x_{i},y_{i},z_{i})\prawo)-1\prawo)^{2}}$

Minimalizacja funkcji celu zapewnia odzyskaną superelipsoidę jak najbliżej wszystkich punktów wejściowych ${\ Displaystyle \ {(x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}) \ w \ mathbb {R} ^ {3}, i = 1,2, ..., N \}}$ . W średnim czasie wartość skalarna $objętości$ superelipsoidy, a zatem ma również wpływ na minimalizację

Druga funkcja celu próbuje zminimalizować promieniową odległość między punktami a superelipsoidą. To jest

${\ Displaystyle G_ {2} (\ theta) = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ lewo (\ lewo | r_ {i} \ prawo | \ lewo | 1-F ^ {- {\ frac { \epsilon _{1}}{2}}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)\right|\right)^{ 2}}$ , gdzie ${\ Displaystyle r_ {i} = \ | (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}) \ |_ {2}}$

Metoda probabilistyczna zwana EMS jest przeznaczona do radzenia sobie z szumem i wartościami odstającymi . W tej metodzie odzysk superelipsoidy jest przeformułowany jako oszacowania największego prawdopodobieństwa i proponuje się metodę optymalizacji w celu uniknięcia lokalnych minimów z wykorzystaniem geometrycznych podobieństw superelipsoid.

Metoda jest dalej rozszerzana przez modelowanie za pomocą nieparametrycznych technik bayesowskich w celu jednoczesnego odzyskiwania wielu superelipsoid.

Bibliografia

• Barr, „Superquadrics and Angle-Preserving Transformations” w IEEE Computer Graphics and Applications , tom. 1, nie. 1, s. 11-23, styczeń 1981, doi: 10.1109/MCG.1981.1673799.
• Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina, Segmentacja i odzyskiwanie superquadrics . Wydawnictwo Akademickie Kluwer, Dordrecht, 2000.
• Aleš Jaklič, Franc Solina (2003) Momenty superelipsoid i ich zastosowanie do rejestracji obrazu zasięgu. TRANSAKCJE IEEE DOTYCZĄCE SYSTEMÓW, CZŁOWIEKA I CYBERNETYKI, 33 (4). s. 648–657
• W. Liu, Y. Wu, S. Ruan i GS Chirikjian, „Robust and Accurate Superquadric Recovery: a Probabilistic Approach”, 2022 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) , Nowy Orlean, LA, USA, 2022 , s. 2666-2675, doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270.

Linki zewnętrzne

• Bibliografia: Reprezentacje SuperQuadric
• Superkwadryczne glify tensorowe
• SuperQuadric Elipsoids and Toroids, OpenGL Lighting i Timing
• Superquadratics autorstwa Roberta Kraglera, The Wolfram Demonstrations Project .
• Algorytm odzyskiwania superquadrics w Pythonie i MATLABie