supertoroida

Supertoroidy z a=b=2 i różne kombinacje parametrów s i t.

W geometrii i grafice komputerowej supertoroid lub supertorus jest zwykle rozumiany jako rodzina powierzchni podobnych do pączków (technicznie torus topologiczny ), których kształt jest określony za pomocą wzorów matematycznych podobnych do tych, które definiują superelipsoidy . Liczba mnoga słowa „supertorus” to albo supertori , albo supertoruses .

Rodzina została opisana i nazwana przez Alana Barra w 1994 roku.

Supertoroidy Barra były dość popularne w grafice komputerowej jako wygodny model dla wielu obiektów, takich jak gładkie ramy prostokątnych przedmiotów. Jedna czwarta supertoroidu może zapewnić gładkie i płynne połączenie pod kątem 90 stopni między dwoma superkwadratowymi cylindrami . Nie są to jednak powierzchnie algebraiczne (z wyjątkiem szczególnych przypadków).

Formuły

Supertoroidy Alana Barra są definiowane za pomocą równań parametrycznych podobnych do równań trygonometrycznych torusa, z wyjątkiem tego, że wyrazy sinus i cosinus są podnoszone do dowolnych potęg . Mianowicie, ogólny punkt P ( u , v ) powierzchni jest dany przez

${\ Displaystyle P (u, v) = \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {c} X (u, v) \\ Y (u, v) \\ Z (u, v) \ koniec {tablica}} \right)=\left({\begin{array}{c}(a+C_{u}^{s})C_{v}^{t}\\(b+C_{u}^{s}) S_{v}^{t}\\S_{u}^{s}\end{tablica}}\right)}$

gdzie ${\ Displaystyle C _ {\ theta} ^ {\ epsilon} = \ operatorname {sgn} (\ cos \ theta) \ lewo | \ cos \ theta \ right | ^ {\ epsilon}}$ , ${\ Displaystyle S _ {\ theta} ^ {\ epsilon} = \ operatorname {sgn} (\ sin \ theta) \ lewo|\ sin \ theta \ right | ^ {\ epsilon}} , a parametry u$ i v wahają się od 0 do 360 stopni (0 do 2 π radianów ).

W tych wzorach parametr s > 0 steruje „prostokątnością” przekrojów pionowych, t > 0 steruje prostopadłością przekrojów poziomych, a a , b ≥ 1 to główne promienie w kierunkach X i Y. Przy s = t =1 i a = b = R otrzymujemy torus zwyczajny o większym promieniu R i mniejszym promieniu 1, ze środkiem w początku układu współrzędnych i symetrią obrotową o osi Z.

$_$ supertorus przedziały _ _ _ ${\ Displaystyle [- (b + 1) + (b + 1)]}$ w Y i $, + 1]}$ -1 w Z. Cały kształt jest symetryczny względem płaszczyzn X = 0, Y = 0 i Z = 0. Otwór biegnie w $-1)$ Z przedziały w X i ${\ Displaystyle [- (b-1) + (b-1)]}$ w Y .

Krzywa o stałej u na tej powierzchni jest poziomą krzywą Lamégo z wykładnikiem 2/ t , wyskalowaną w X i Y i przesuniętą w Z . Krzywa o stałej v , rzutowana na płaszczyznę X =0 lub Y =0, jest krzywą Lamégo o wykładniku 2/ s , przeskalowanym i przesuniętym w poziomie. Jeśli v wynosi 0, krzywa jest płaska i obejmuje przedział ${\ Displaystyle [a-1, a + 1]}$ w X i ${\ Displaystyle [-1, + 1]}$ w Z ; i podobnie, jeśli v wynosi 90, 180 lub 270 stopni. Krzywa jest również płaska, jeśli a = b .

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli a ≠ b i v nie jest wielokrotnością 90 stopni, krzywa stałej v nie będzie płaska; i odwrotnie, pionowy przekrój płaszczyzny supertorusa nie będzie krzywą Lamégo.

Zdefiniowany powyżej podstawowy kształt supertoroidu jest często modyfikowany przez nierównomierne skalowanie w celu uzyskania supertoroidów o określonej szerokości, długości i grubości pionowej.

Wykreślanie kodu

Poniższy kod GNU Octave generuje wykresy supertorusa:

  
  
  
  
  
  
  
  
   supertoroid  funkcji  (  epsilon,a  )  n  =  50  ;  d  =  0,1  ;  etamax  =  pi  ;  etamina  =  -  pi  ;  wmax  =  pi  ;  wmin  =  -  pi  ;  deta  =(  etamax  -  etamin  )  /  n  ;  dw  =(  wmax  -  wmin  )  /  n 
  0
  0
   
    
     
      
       ;  k  =  ;  l  =  ;  dla  i  =  1  :  n  +  1  eta  (  ja  ) =  etamin  +  (  ja  -  1  )  *  deta  ;  dla  j  =  1  :  n  +  1  w  (  j  ) =  w min  +  (  j  -  1  )  *  dw  ;  X  (  ja  ,  j  )=  a  (  1  )  *  (  a  (  4  )  +  znak  (  cos  (  eta  (  ja  )))  *  abs  (  cos  (  eta  (  i  )))  ^  epsilon  (  1  ))  *  znak  (  cos  (  w  (  j  )))  *  abs  (  cos 
       (  w  (  j  )))  ^  epsilon  (  2  );  y  (  ja  ,  j  )=  za  (  2  )  *  (  a  (  4  )  +  znak  (  cos  (  eta  (  ja  )))  *  abs  (  cos  (  eta  (  ja  )))  ^  epsilon  (  1  ))  *  znak 
       (  sin  (  w  (  j  )))  *  abs  (  sin  (  w  (  j  )))  ^  epsilon  (  2  );  z  (  ja  ,  j  )=  za  (  3  )  *  znak  (  sin  (  eta  (  ja  )))  *  abs  (  sin  (  eta  (  ja  )))  ^ 
    
  
   
  epsilon  (  1  );  koniec dla  ;  koniec dla  ;  siatka  (  x  ,  y  ,  z  );  funkcja końcowa  ; 

Zobacz też

• Superelipsoida
• super jajko
• superkwadryka