układ Trachtenberga

System Trachtenberg to system szybkiej kalkulacji umysłowej . System składa się z szeregu łatwych do zapamiętania operacji, które pozwalają na bardzo szybkie wykonywanie obliczeń arytmetycznych. Został opracowany przez ukraińskiego inżyniera Jakowa Trachtenberga, aby zająć umysł podczas pobytu w nazistowskim obozie koncentracyjnym .

W dalszej części artykułu przedstawiono niektóre metody opracowane przez Trachtenberga. Niektóre algorytmy opracowane przez Trachtenberga służą do ogólnego mnożenia, dzielenia i dodawania. Ponadto system Trachtenberg obejmuje kilka wyspecjalizowanych metod mnożenia małych liczb z przedziału od 5 do 13 (ale tutaj pokazano 2–12).

Część poświęcona dodawaniu pokazuje skuteczną metodę sprawdzania obliczeń, którą można również zastosować do mnożenia .

Mnożenie ogólne, teoria matematyki Trachtenberga

Metoda ogólnego mnożenia to metoda uzyskiwania mnożeń $małej$ złożoności przestrzennej, tj. Jak najmniejszej liczbie wyników tymczasowych do przechowywania w Osiąga się to, zauważając, że ostatnia cyfra jest całkowicie określona przez pomnożenie ostatniej cyfry mnożników . Jest to utrzymywane jako wynik tymczasowy. Aby znaleźć przedostatnią cyfrę, potrzebujemy wszystkiego, co ma wpływ na tę cyfrę: wynik tymczasowy, ostatnia cyfra z ${\ displaystyle a$ cyfry b za ${\ displaystyle b}$$displaystyle b}$ jak również przedostatnia cyfra razy ostatnia cyfra $\$ . To obliczenie jest wykonywane i mamy tymczasowy wynik, który jest poprawny w ostatnich dwóch cyfrach.

Ogólnie rzecz biorąc, dla każdej pozycji $wyniku$ końcowym sumujemy dla wszystkich: ${\ displaystyle i$ }

${\ Displaystyle a {\ tekst {(cyfra w }} i {\ tekst {}}} \ razy b {\ tekst {(cyfra w }} (ni) {\ tekst {)}}.}$

Ludzie mogą nauczyć się tego algorytmu iw ten sposób mnożyć w głowie liczby czterocyfrowe – zapisując tylko wynik końcowy. Zapisaliby to, zaczynając od najbardziej wysuniętej na prawo cyfry, a kończąc na najbardziej wysuniętej na lewo cyfrze.

Trachtenberg zdefiniował ten algorytm za pomocą pewnego rodzaju mnożenia parami, w którym dwie cyfry są mnożone przez jedną cyfrę, zasadniczo zachowując tylko środkową cyfrę wyniku. Wykonując powyższy algorytm z tym mnożeniem parami, trzeba zachować jeszcze mniej tymczasowych wyników.

Przykład: ${\ Displaystyle 123456 \ razy 789}$

Aby znaleźć pierwszą (najbardziej na prawo) cyfrę odpowiedzi, zacznij od pierwszej cyfry mnożnej:

Cyfra jednostek ${\ Displaystyle 9 \ razy 6 \ to \ 4.}$

Pierwsza cyfra odpowiedzi to ${\ Displaystyle 4}$ . $Cyfra$ dziesiątek jest .

Wskaźniki dla pierwszej cyfry

Aby znaleźć drugą cyfrę odpowiedzi, zacznij od drugiej cyfry mnożnej:

Cyfra jednostek ${\ Displaystyle 9 \ razy 5}$ plus cyfra dziesiątek ${\ Displaystyle 9 \ razy 6}$ plus

Cyfra jednostek ${\ Displaystyle 8 \ razy 6}$ .

${\ Displaystyle 5 + 5 + 8 = 18}$ .

Druga cyfra odpowiedzi to ${\ displaystyle 8}$$i$ prowadzi trzeciej cyfry.

Wskaźniki dla drugiej cyfry

Aby znaleźć trzecią cyfrę odpowiedzi, zacznij od trzeciej cyfry mnożnej:

Cyfra jedności ${\ Displaystyle 9 \ razy 4}$ plus cyfra dziesiątek ${\ Displaystyle 9 \ razy 5}$ plus

Cyfra jedności ${\ Displaystyle 8 \ razy 5}$ plus dziesiątki cyfra ${\ Displaystyle 8 \ razy 6}$ plus

Cyfra jedności ${\ Displaystyle 7 \ razy 6}$

$1+6+4+0+4+2=17$

The third digit of the answer is $7$ and carry $1$ to the next digit.

Wskaźniki dla trzeciej cyfry

Aby znaleźć czwartą cyfrę odpowiedzi, zacznij od czwartej cyfry mnożnej:

Cyfra jedności ${\ Displaystyle 9 \ razy 3}$$}$ 4 {

\ $razy 4$ dziesiątki cyfra ${\ Displaystyle 8 \ razy 5}$ plus

cyfra jedności ${\ Displaystyle 7 \ razy 5}$ plus cyfra dziesiątek ${\ Displaystyle 7 \ razy 6}$ .

${\ Displaystyle 1 + 7 + 3 + 2 + 4 + 5 + 4 = 26}$ przeniesione z trzeciej cyfry.

Czwarta cyfra odpowiedzi to ${\ displaystyle 6}$$i$ przenosi się następnej cyfry.

Kontynuuj tą samą metodą, aby uzyskać pozostałe cyfry.

Metoda 2 palców

Trachtenberg nazwał to metodą 2 palców. Obliczenia dotyczące znalezienia czwartej cyfry z powyższego przykładu są zilustrowane po prawej stronie. Strzałka z dziewiątki zawsze wskazuje cyfrę mnożnej bezpośrednio nad cyfrą odpowiedzi, którą chcesz znaleźć, a pozostałe strzałki wskazują jedną cyfrę w prawo. Każdy grot strzałki wskazuje parę UT lub parę produktów. Pionowa strzałka wskazuje na iloczyn, w którym otrzymamy cyfrę jednostek, a nachylona strzałka wskazuje na iloczyn, w którym otrzymamy cyfry dziesiątek pary produktów. Jeśli strzałka wskazuje na spację bez cyfry, nie ma obliczeń dla tej strzałki. Podczas rozwiązywania dla każdej cyfry przesuwaj każdą ze strzałek nad mnożną i jedną cyfrę w lewo, aż wszystkie strzałki wskażą zera z prefiksem.

Przygotowanie do dywizji

Dzielenie w systemie Trachtenberg odbywa się tak samo jak przy mnożeniu, ale z odejmowaniem zamiast dodawania. Podział dywidendy na mniejsze częściowe dywidendy, a następnie podzielenie tej częściowej dywidendy tylko przez skrajną lewą cyfrę dzielnika zapewni odpowiedź po jednej cyfrze na raz. Rozwiązując każdą cyfrę odpowiedzi, odejmujesz pary produktów (pary UT), a także pary NT (liczba-dziesiątka) od częściowej dywidendy, aby znaleźć następną częściową dywidendę. Pary produktów znajdują się między cyframi dotychczasowej odpowiedzi a dzielnikiem. Jeśli odejmowanie daje liczbę ujemną, musisz cofnąć się o jedną cyfrę i zmniejszyć tę cyfrę odpowiedzi o jeden. Przy wystarczającej praktyce tę metodę można wykonać w głowie.

Dodatek ogólny

Metoda dodawania kolumn liczb i dokładnego sprawdzania wyniku bez powtarzania pierwszej operacji. Tworzona jest suma pośrednia w postaci dwóch rzędów cyfr. Odpowiedź uzyskuje się, biorąc sumę wyników pośrednich za pomocą algorytmu w kształcie litery L. Na koniec zalecana metoda sprawdzania eliminuje ryzyko powtórzenia wszelkich pierwotnych błędów i jednocześnie identyfikuje dokładną kolumnę, w której wystąpił błąd. Opiera się na sumach kontrolnych (lub cyfrowych), takich jak metoda pozostałych dziewiątek.

Aby procedura była skuteczna, różne operacje stosowane na każdym etapie muszą być odrębne, w przeciwnym razie istnieje ryzyko zakłóceń.

Inne algorytmy mnożenia

Podczas wykonywania któregokolwiek z tych algorytmów mnożenia należy zastosować następujące „kroki”.

Odpowiedź należy znaleźć po jednej cyfrze na raz, zaczynając od najmniej znaczącej cyfry i przesuwając się w lewo. Ostatnie obliczenie jest na wiodącym zera mnożnika.

Każda cyfra ma swojego sąsiada , czyli cyfrę po swojej prawej stronie. Sąsiadem skrajnej prawej cyfry jest końcowe zero.

Operacja „połówka” ma szczególne znaczenie dla systemu Trachtenberg. Ma oznaczać „połowę cyfry zaokrągloną w dół”, ale ze względu na szybkość zachęca się osoby stosujące system Trachtenberg do natychmiastowego zmniejszenia o połowę. Więc zamiast myśleć „połowa z siedmiu to trzy i pół, więc trzy” sugeruje się, że myśli się „siedem, trzy”. To znacznie przyspiesza obliczenia. W ten sam sposób należy zapamiętać tablice do odejmowania cyfr od 10 lub 9.

A kiedy reguła wymaga dodania połowy sąsiada, zawsze dodaj 5, jeśli bieżąca cyfra jest nieparzysta. To rekompensuje utratę 0,5 w obliczeniach następnej cyfry.

Liczby i cyfry (podstawa 10)

Cyfry i liczby to dwa różne pojęcia. Liczba T składa się z n cyfr c _n ... c ₁ .

${\ Displaystyle T = 10 ^ {n-1} * c_ {n} +... + 10 ^ {0} * c_ {1}}$

Mnożenie przez 2

Dowód

${\textstyle {\begin{wyrównane}R&=T*2\Leftrightarrow \\R&=2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1}) \Leftrightarrow \\R&=10^{n-1}*2*c_{n}+\ldots +10^{0}*2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Zasada :

1. Pomnóż każdą cyfrę przez 2 (z przenoszeniem).

Przykład: 8624 × 2

Pracując od lewej do prawej:

8+8=16,

6+6=12 (podaj 1),

2+2=4

4+4=8;

8624 × 2 = 17248

Przykład: 76892 × 2

Pracując od lewej do prawej:

7+7=14

6+6=12

8+8=16

9+9=18

2+2=4;

76892 × 2 = 153784

Mnożenie przez 3

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 3 \ Strzałka w prawo \\ R & = 3 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots +10 ^ {0} * c_ {1}) \Leftrightarrow \\R&=(10/2-2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0 }*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n}*2+10^{n-1}*(c_{n -1}/2-2)+10^{n-1}*2+\ldokropek +10^{1}*(c_{1}/2-2)+10^{1}*2\\&- 2*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0} *c_{1})\strzałka w lewo \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2+20-2 -2*c_{n})+10^{n-2}*(c_{n-2}/2+20-2-2*c_{n-1})\\&+\ldots +10^{ 1}*(c_{1}/2+20-2-2*c_{2})+10^{0}*(20-2*c_{1})\strzałka w lewo \\R&=10^{n} *(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}* (2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{ 1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*(((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n} {\bmod {2}}))/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n- 2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2}) +c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+2*(9-c_{n})+c_{n- 1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}* (2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\strzałka w lewo \\R&=10^{n}* ((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2+(c_ {n}{\bmod {2}})*5)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+ \ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \ \R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div}}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+(c_ {n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots + 10^{1}*(2*(9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div}}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2 }}<>0;5;0))\\&+10^{0}*(2*(10-c_{1})+{\text{if}}(c_{1}{\bmod {2 }}<>0;5;0))\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Reguła:

1. Odejmij skrajną prawą cyfrę od 10.
2. Odejmij pozostałe cyfry od 9.
3. Podwój wynik.
4. Dodaj połowę sąsiada po prawej stronie plus 5, jeśli cyfra jest nieparzysta.
5. Dla wiodącego zera odejmij 2 od połowy sąsiada.

Przykład: 492 × 3 = 1476

Pracując od prawej do lewej:

(10 - 2) × 2 + połowa 0 (0) = 16. Zapisz 6, przenieś 1.

(9 - 9) × 2 + połowa 2 (1) + 5 (ponieważ 9 jest nieparzyste) + 1 (przeniesione) = 7. Zapisz 7.

(9 - 4) × 2 + połowa z 9 (4) = 14. Zapisz 4, przenieś 1.

Połowa z 4 (2) - 2 + 1 (przeniesiony) = 1. Zapisz 1.

Mnożenie przez 4

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 4 \ Strzałka w prawo \\ R & = 4 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots +10 ^ {0} * c_ {1}) \Leftrightarrow \\R&=(10/2-1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0 }*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ zobacz dowód metody 3}}\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-1) +10^{n-1}*((9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\ bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*((9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2 )+{\text{if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*((10-c_{1})+ {\text{if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Reguła:

1. Odejmij cyfrę znajdującą się najbardziej po prawej stronie od 10.
2. Odejmij pozostałe cyfry od 9.
3. Dodaj połowę sąsiada plus 5, jeśli cyfra jest nieparzysta.
4. Dla wiodącego 0 odejmij 1 od połowy sąsiada.

Przykład: 346 × 4 = 1384

Pracując od prawej do lewej:

(10 - 6) + połowa 0 (0) = 4. Zapisz 4.

(9 - 4) + połowa 6 (3) = 8. Zapisz 8.

(9 - 3) + połowa 4 (2) + 5 (ponieważ 3 jest nieparzyste) = 13. Zapisz 3, przenieś 1.

Połowa z 3 (1) - 1 + 1 (przeniesiony) = 1. Zapisz 1.

Mnożenie przez 5

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 5 \ Strzałka w prawo \\ R & = 5 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots +10 ^ {0} * c_ {1}) \Leftrightarrow \\R&=(10/2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}* c_{1})\strzałka w lewo \\R&=10^{n}*(c_{n}/2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2)+\ldots +10^ {1}*(c_{1}/2)\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod { b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div}}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10 ^{n-1}*((c_{n-1}{\text{div}}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2\\&+\ ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div}}2)*2+(c_{2}{\bmod {2}}))/2+10^{1}*( (c_{1}{\text{ div }}2)*2+(c_{1}{\bmod {2}}))/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n }{\text{ div }}2)+(c_{n}{\bmod {2}})/2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div } }2)+(c_{n-1}{\bmod {2}})/2)\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2) +(c_{2}{\bmod {2}})/2)+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+(c_{1}{\bmod {2 }})/2)\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*10*(c_{n}{\ bmod {2}})/2+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div}}2)+10^{n-2}*10*(c_{n-1 }{\bmod {2}})/2+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)\\&+\ldots +10^{2}*( c_{2}{\text{ div }}2)+10^{1}*10*(c_{2}{\bmod {2}})/2+(c_{1}{\text{ div }} 2))+10^{0}*10*(c_{1}{\bmod {2}})/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div } }2)+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}}) *5+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div}}2)+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}} )*5\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{2}*(c_{3}{\bmod {2}}) *5+10^{1}*(c_{1}{\text{ div}}2)+10^{1}*(c_{2}{\bmod {2}})*5+10^{0 }*(c_{1}{\bmod {2}})*5\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1 }*((c_{n-1}{\text{ div}}2)+{\text{if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10 ^{n-2}*((c_{n-2}{\text{ div}}2)+{\text{if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0; 5;0))\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{3}{\bmod { 2}}<>0;5;0))+10^{1}*((c_{1}{\text{ div}}2)+{\text{if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{0}*{\text{if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\ \&QED\end{wyrównane}}}$

Zasada :

1. Weź połowę sąsiada, a następnie, jeśli bieżąca cyfra jest nieparzysta, dodaj 5.

Przykład: 42×5=210

Połowa sąsiada 2, końcowe zero, to 0.

Połowa sąsiada 4 to 1.

Połowa sąsiada wiodącego zera to 2.

43×5 = 215

Połowa sąsiada 3 to 0 plus 5, ponieważ 3 jest nieparzyste, to 5.

Połowa sąsiada 4 to 1.

Połowa sąsiada wiodącego zera to 2.

93×5=465

Połowa sąsiada 3 to 0 plus 5, ponieważ 3 jest nieparzysta, to 5.

Połowa sąsiada 9 to 1 plus 5, ponieważ 9 to nieparzyste, to 6.

Połowa sąsiada wiodącego zera to 4.

Mnożenie przez 6

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 6 \ Strzałka w prawo \\ R & = 6 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots +10 ^ {0} * c_ {1}) \Leftrightarrow \\R&=(10/2+1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0 }*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+1*10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*c_ {n-1}/2+1*10^{n-2}*c_{n-1}+\ldokropki +10^{1}*c_{1}/2+1*10^{0}*c_ {1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10 ^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a {\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div}}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}})) /2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \ \R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div}}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^ {n-1}*c_{n}+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div}}2)*2+(c_{n-1}{\bmod { 2}}))/2+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{ \bmod {2}})<>0;5;0))+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5+\ldots +10^{1 }*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_ {n}+(c_{n-1}{\text{ div}}2)+{\text{if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0) )\\&+10^{n-2}*(c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n -1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{0}*(c_{1}+{\text{if}}((c_{ 1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Reguła:

1. Dodaj połowę sąsiada do każdej cyfry. Jeśli bieżąca cyfra jest nieparzysta, dodaj 5.

Przykład: 357 × 6 = 2142

Pracując od prawej do lewej:

7 nie ma sąsiada, dodaj 5 (ponieważ 7 jest nieparzyste) = 12. Zapisz 2, przenieś 1.

5 + połowa 7 (3) + 5 (ponieważ cyfra początkowa 5 jest nieparzysta) + 1 (przeniesiona) = 14. Napisz 4, przenieś 1.

3 + połowa 5 (2) + 5 (ponieważ 3 jest nieparzyste) + 1 (przeniesione) = 11. Zapisz 1, przenieś 1.

0 + połowa 3 (1) + 1 (przeniesione) = 2. Napisz 2.

Mnożenie przez 7

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 7 \ Strzałka w prawo \\ R & = 7 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots +10 ^ {0} * c_ {1}) \Leftrightarrow \\R&=(10/2+2)*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ zobacz dowód metody 6}}\\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(2*c_{n}+(c_ {n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{ n-2}*(2*c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div}}2)+{\text{if}}(c_{n-1}{\bmod { 2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\ text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+2*c_{1}+{\text{if}}(c_{1}{\bmod { 2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Reguła:

1. Podwój każdą cyfrę.
2. Dodaj połowę swojego sąsiada po prawej stronie (upuszczając ułamki dziesiętne, jeśli występują). Sąsiadem pozycji jednostek jest 0.
3. Jeśli cyfra bazowa jest parzysta, dodaj 0, w przeciwnym razie dodaj 5.
4. Dodaj wszelkie pozostałości z poprzedniego kroku.

Przykład: 693 × 7 = 4851

Pracując od prawej do lewej:

(3×2) + 0 + 5 + 0 = 11 = przeniesienie 1, wynik 1.

(9×2) + 1 + 5 + 1 = 25 = przeniesienie 2, wynik 5.

(6×2) + 4 + 0 + 2 = 18 = przeniesienie 1, wynik 8.

(0×2) + 3 + 0 + 1 = 4 = wynik 4.

Mnożenie przez 8

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 8 \ Strzałka w lewo \\ R & = T * 4 * 2 \ Strzałka w prawo \ vdots {\ mbox {patrz dowód metody 4}} \\ R & = 10 ^ {n} * 2*(c_{n}/2-1)+10^{n-1}*2*((9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2} *2*((9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*2*((9-c_{2})+c_ {1}/2)+10^{0}*2*(10-c_{1})\strzałka w lewo \\R&=10^{n}*(c_{n}-2)+10^{n-1 }*(2*(9-c_{n})+c_{n-1})+\ldots +10^{2}*(2*(9-c_{3})+c_{2})+10 ^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1})+2*(10-c_{1})\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Reguła:

1. Odejmij skrajną prawą cyfrę od 10.
   1. Odejmij pozostałe cyfry od 9.
2. Podwój wynik.
3. Dodaj sąsiada.
4. Dla wiodącego zera odejmij 2 od sąsiada.

Przykład: 456 × 8 = 3648

Pracując od prawej do lewej:

(10 - 6) × 2 + 0 = 8. Zapisz 8.

(9 - 5) × 2 + 6 = 14, Zapisz 4, przenieś 1.

(9 - 4) × 2 + 5 + 1 (przeniesione) = 16. Napisz 6, przenieś 1.

4 - 2 + 1 (przenieś) = 3. Napisz 3.

Mnożenie przez 9

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 9 \ Strzałka w lewo \\ R & = (10-1) * T \ Strzałka w prawo \\ R & = 10 ^ {n} * (c_ {n} -1) + 10 ^ {n}+10^{n-1}*(c_{n-1}-1)+10^{n-1}+\ldots +10^{1}*(c_{1}-1)+10 ^{1}\\&-(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2} +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ zobacz dowód metody 4}}\\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n -1}*(9-c_{n}+c_{n-1})+10^{n-2}*(9-c_{n-1}+c_{n-2})+\ldots +10 ^{1}*(9-c_{2}+c_{1})+10^{0}*(10-c_{1})\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Reguła:

1. Odejmij skrajną prawą cyfrę od 10.
   1. Odejmij pozostałe cyfry od 9.
2. Dodaj sąsiada do sumy
3. Dla wiodącego zera odejmij 1 od sąsiada.

W przypadku reguł 9, 8, 4 i 3 tylko pierwsza cyfra jest odejmowana od 10. Następnie każda cyfra jest odejmowana od dziewięciu.

Przykład: 2130 × 9 = 19170

Pracując od prawej do lewej:

(10 - 0) + 0 = 10. Zapisz 0, przenieś 1.

(9 - 3) + 0 + 1 (przenieś) = 7. Zapisz 7.

(9 - 1) + 3 = 11. Zapisz 1, przenieś 1.

(9 - 2) + 1 + 1 (przenoszony) = 9. Zapisz 9.

2 - 1 = 1. Zapisz 1.

Mnożenie przez 10

Dodaj 0 (zero) jako skrajną prawą cyfrę.

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 10 \ Strzałka w prawo \\ R & = 10 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots +10 ^ {0} * c_ {1}) \Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+\ldots +10^{1}*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Mnożenie przez 11

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 11 \ Strzałka w prawo \\ R & = T * (10 + 1) \\ R & = 10 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots + 10^{0}*c_{1})+(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n }*c_{n}+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(c_{2}+c_{1})+ c_{1}\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Reguła:

1. Dodaj cyfrę do sąsiada. (Przez „sąsiada” rozumiemy cyfrę po prawej stronie.)

Przykład: ${\ Displaystyle 3425 \ razy 11 = 37 675}$

(0 + 3) (3 + 4) (4 + 2) (2 + 5) (5 + 0)

3 7 6 7 5

Ilustrować:

11=10+1

Zatem,

${\ Displaystyle 3425 \ razy 11 = 3425 \ razy (10 + 1)}$

${\ Displaystyle \ rightarrow 37675 = 34250 + 3425}$

Mnożenie przez 12

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 12 \ Strzałka w prawo \\ R & = T * (10 + 2) \\ R & = 10 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots + 10^{0}*c_{1})+2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^ {n}*c_{n}+10^{n-1}*(2*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+ c_{1})+2*c_{1}\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Zasada: aby pomnożyć przez 12 : Zaczynając od cyfry najbardziej na prawo, podwoj każdą cyfrę i dodaj sąsiada. („Sąsiad” to cyfra po prawej stronie).

Jeśli odpowiedź jest większa niż jedna cyfra, po prostu przenieś dodatkową cyfrę (która będzie 1 lub 2) do następnej operacji. Pozostała cyfra to jedna cyfra wyniku końcowego.

Przykład: ${\ Displaystyle 316 \ razy 12}$

Określ sąsiadów w mnożnej 0316:

• cyfra 6 nie ma prawego sąsiada
• cyfra 1 ma sąsiada 6
• cyfra 3 ma sąsiada 1
• cyfra 0 (zero z prefiksem) ma sąsiada 3

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 6 \ razy 2 i = 12 {\ tekst {(2 prowadzenie 1)}} \\ 1 \ razy 2 + 6 + 1 i = 9 \\ 3 \ razy 2 + 1 i = 7 \\ 0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3792\end{wyrównane}}}$

Mnożenie przez 13

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = T * 13 \ Strzałka w prawo \\ R & = T * (10 + 3) \\ R & = 10 * (10 ^ {n-1} * c_ {n} + \ ldots + 10^{0}*c_{1})+3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^ {n}*c_{n}+10^{n-1}*(3*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(3*c_{2}+ c_{1})+3*c_{1}\\\\&QED\end{wyrównane}}}$

Publikacje

• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. System szybkich obliczeń umysłowych jako narzędzie myślenia algorytmicznego w rozwoju uczniów szkół podstawowych . Europejski naukowiec 25(7): 1105–1110, 2012 [1] .
• Trachtenberg Speed ​​System of Basic Mathematics autorstwa Jakowa Trachtenberga, A. Cutlera (tłumacz), R. McShane'a (tłumacz), został opublikowany przez Doubleday and Company, Inc. Garden City w Nowym Jorku w 1960 roku.

Książka zawiera szczegółowe wyjaśnienia algebraiczne dla każdej z powyższych operacji.

Większość informacji w tym artykule pochodzi z oryginalnej książki.

Algorytmy/operacje mnożenia itp. Można wyrazić w inny, bardziej zwięzły sposób, którego książka nie określa, pomimo rozdziału o opisie algebraicznym.

W kulturze popularnej

Amerykański film Gifted z 2017 roku kręci się wokół cudownego dziecka, które w wieku 7 lat imponuje swojemu nauczycielowi, wykonując obliczenia w swojej głowie za pomocą systemu Trachtenberg.

Inne systemy

Istnieje wiele innych metod obliczeń w matematyce umysłowej. Poniższa lista przedstawia kilka innych metod obliczania, choć mogą one nie być całkowicie mentalne.

• Książka Bharati Krishna Tirthy „Matematyka wedyjska ”
• Liczydło mentalne – gdy uczniowie przyzwyczajają się do manipulowania liczydłem palcami, zazwyczaj proszeni są o wykonanie obliczeń poprzez wizualizację liczydła w głowie. Prawie wszyscy biegli użytkownicy liczydła są biegli w wykonywaniu arytmetyki w myślach.
• Chisanbop

Dalsza lektura

• Trachtenberg, J. (1960). Trachtenberg Speed ​​System podstawowej matematyki . Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
• Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу , 1967 (po rosyjsku) .
• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. „ System szybkich obliczeń umysłowych jako narzędzie algorytmicznego myślenia rozwoju uczniów szkół podstawowych ”, European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012.

Linki zewnętrzne

• Chandrashekhar, Kiran. „[Dowiedz się wszystkiego o] skrótach matematycznych” , SapnaEdu.in w Wayback Machine (archiwum 30 maja 2018 r.)
• Utalentowany (film z 2017 r.) Ten film bardziej opowiada o systemie Trachtenberg , z Mckenną Grace , młodą artystką, która nauczyła się tej techniki, w roli głównej.
• Akademia Matematyki Wedyjskiej