Szablon pięciopunktowy

Ilustracja szablonu pięciopunktowego w jednym i dwóch wymiarach (odpowiednio góra i dół).

W analizie numerycznej , mając kwadratową siatkę w jednym lub dwóch wymiarach, pięciopunktowy szablon punktu w siatce jest szablonem składającym się z samego punktu wraz z czterema „sąsiadami”. Służy do zapisywania różnic skończonych do pochodnych w punktach siatki. Jest to przykład różniczkowania numerycznego .

W jednym wymiarze

W jednym wymiarze, jeśli odstęp między punktami na siatce wynosi h , to pięciopunktowy szablon punktu x na siatce to

$${\ Displaystyle \ {x-2h, xh, x, x + h, x + 2h \}.}$$

Pierwsza pochodna 1D

Pierwszą pochodną funkcji f zmiennej rzeczywistej w punkcie x można przybliżyć za pomocą pięciopunktowego szablonu jako:

$${\ Displaystyle f' (x) \ ok {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(xh)+f(x-2h)}{12h}}}$$

Zauważ, że sam punkt środkowy f ( x ) nie jest zaangażowany, tylko cztery sąsiednie punkty.

Pochodzenie

Formułę tę można otrzymać wypisując cztery szeregi Taylora f ( x ± h ) i f ( x ± 2 h ) aż do wyrazów h ³ (lub do wyrazów h ⁵ , aby uzyskać również oszacowanie błędu) i rozwiązując ten układ czterech równań, aby uzyskać f ′ ( x ). Właściwie w punktach x + h i x − h mamy :

$${\ Displaystyle f (x \ pm h) = f (x) \ pm hf '(x) + {\ Frac {h ^ {2}} {2}} f '' (x) \ pm {\ frac {h ^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm}).}$$

${\ Displaystyle (E_ {1+}) - (E_ {1-})}$ daje nam

$${\ Displaystyle f (x + h) -f (xh) = 2hf '(x) + {\ Frac {h ^ {3}}} {3}} f ^ {(3)} (x) + O_ {1} (h^{4}).\qquad (E_{1}).}$$

Zauważ, że składnik rezydualny O ₁ ( h ⁴ ) powinien być rzędu h ⁵ zamiast h ⁴ , ponieważ jeśli wyrazy h ⁴ zostały zapisane w ( E ₁₊ ) i ( E ₁₋ ), to może być widać, że zniosłyby się nawzajem przez f ( x + h ) - f ( x - h ) . Ale dla tego obliczenia tak jest, ponieważ kolejność szacowania błędów nie jest tutaj traktowana (por. poniżej).

Podobnie mamy

$${\ Displaystyle f (x \ pm 2h) = f (x) \ pm 2hf' (x) + {\ Frac {4h ^ {2}} {2!}} f '' (x) \ pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm}(h^{4}).\qquad (E_{2\pm} )}$$

i daje nam ${\ Displaystyle (E_ {2+}) - (E_ {2-})}$

$${\ Displaystyle f (x + 2h) -f (x-2h) = 4hf '(x) + {\ Frac {8h ^ {3}}}} f ^ {(3)} (x) + O_ { 2}(h^{4}).\qquad (E_{2}).}$$

Aby wyeliminować wyrazy ƒ ⁽³⁾ ( x ), oblicz 8 × ( mi ₁ ) − ( mi ₂ )

$${\ Displaystyle 8f ( x+h)-8f(xh)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{4})}$$

dając w ten sposób wzór jak powyżej. Uwaga: współczynniki f w tym wzorze (8, -8, -1,1) reprezentują konkretny przykład bardziej ogólnego filtra Savitzky'ego – Golaya .

Oszacowanie błędu

Błąd tego przybliżenia jest rzędu h ⁴ . Widać to po rozwinięciu

$${\ Displaystyle {\ Frac {- f (x + 2h) + 8f (x + h) -8f (xh) + f (x-2h)} {12h}} = f '( x) - {\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})}$$

co można uzyskać przez rozwinięcie lewej strony w szereg Taylora . $,$ zastosuj ekstrapolację Richardsona przybliżenia centralnej różnicy na siatkach z 2 i h

1D pochodne wyższego rzędu

Wyśrodkowane wzory różnicowe dla szablonów pięciopunktowych przybliżające drugą, trzecią i czwartą pochodną to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f '' (x )&\około {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(xh)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\ [1ex]f ^{(3)}(x)&\około {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(xh)-f(x-2h)}{2h^{ 3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\około {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(xh)+ f(x-2h)}{h^{4}}}\end{wyrównane}}}$$

Błędy w tych przybliżeniach wynoszą odpowiednio O ( h ⁴ ), O ( h ² ) i O ( h ^{2 ).}

Związek z wielomianami interpolującymi Lagrange'a

Jako alternatywę dla wyprowadzenia skończonych wag różnic z szeregu Taylora, można je otrzymać przez zróżnicowanie wielomianów Lagrange'a

$${\ Displaystyle \ ell _ {j} (\ xi) = \ prod _ {i = 0, \, i \ neq j} ^ {k} {\ frac {\ xi -x_ {i}} {x_ {j} -x_ {i}}},}$$

gdzie są punkty interpolacji

$${\ Displaystyle x_ {0} = x-2h, \ quad x_ {1} = xh, \ quad x_ {2} = x, \ quad x_ {3} = x + h, \ quad x_ {4} = x + 2h.}$$

Wtedy wielomian kwartalny interpolujący f ( x ) w tych pięciu punktach wynosi ${\ Displaystyle p_ {4} (x)}$

$${\ Displaystyle p_ {4} (x) = \ suma _ {j = 0} ^ {4} f (x_ {j}) \ell_{j}(x)}$$

a jego pochodna to

$${\ Displaystyle p_ {4} '(x) = \ suma _ {j = 0} ^ {4} f (x_ {j}) \ ell '_ {j} (x).}$$

Tak więc przybliżenie f ′( x ) metodą skończonej różnicy w środkowym punkcie x = x ₂ wynosi

$${\ Displaystyle f '(x_ {2}) = \ ell _ {0} '(x_ {2}) f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+ \ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4}) }$$

Obliczenie pochodnych pięciu wielomianów Lagrange'a przy x = x ₂ daje takie same wagi jak powyżej. Ta metoda może być bardziej elastyczna, ponieważ rozszerzenie do niejednorodnej siatki jest dość proste.

W dwóch wymiarach

W dwóch wymiarach, jeśli na przykład rozmiar kwadratów w siatce wynosi h na h , pięciopunktowy szablon punktu ( x , y ) w siatce to

$${\ Displaystyle \ {(xh, y) ,(x,y),(x+h,y),(x,yh),(x,y+h)\},}$$

tworząc wzór zwany także kwinkunksem . Ten szablon jest często używany do przybliżenia Laplace'a funkcji dwóch zmiennych:

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f (x, y) \ około {\ Frac {f (xh, y) + f (x + h, y) + f (x, yh) + f (x, y + h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.}$$

Błąd w tym przybliżeniu wynosi O ( h ² ), co można wytłumaczyć następująco:

Z szablonów 3-punktowych dla drugiej pochodnej funkcji względem x i y:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x ^ {2}}} & = {\ Frac {f \ lewo (x + \ Delta x ,y\prawo)+f\lewo(x-\Delta x,y\prawo)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4) }(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\częściowe ^{2}f}{\częściowe y^{2}}}& ={\frac {f\lewo(x,y+\Delta y\prawo)+f\lewo(x,y-\Delta y\prawo)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}} }-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{wyrównane}}}$$

${\ Displaystyle \ Delta x = \ Delta y = h$ } :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nabla ^ {2} f & = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac { \częściowy ^{2}f}{\częściowy y^{2}}}\\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(xh,y\ prawo)+f\lewo(x,y+h\prawo)+f\lewo(x,yh\prawo)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^ {(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\ left(xh,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,yh\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O \left(h^{2}\right)\\\end{wyrównane}}}$$

Zobacz też

• Skoki szablonowe
• Współczynniki różnic skończonych
• Iterative Stencil Loops – klasa algorytmów Strony wyświetlające opisy wikidanych jako awarie

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1970), Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi , Dover . Dziewiąty druk. Tabela 25.2.