Współczynnik różnicy skończonej

W matematyce, aby przybliżyć pochodną do dowolnego rzędu dokładności, można użyć różnicy skończonej . Skończona różnica może być centralna , do przodu lub do tyłu .

Centralna różnica skończona

Ta tabela zawiera współczynniki różnic centralnych dla kilku rzędów dokładności i przy jednolitym rozstawie siatki:

Pochodna	Dokładność	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	-61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	-87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	-19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	-19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	-19/24	13/240

Na przykład trzecia pochodna z dokładnością drugiego rzędu to

${ \ Displaystyle f''' (x_ {0}) \ około {\ Frac {- {\ Frac {1} {2}} f (x_ {-2}) + f (x_ {-1}) -f (x_ {+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\ Prawidłowy),}$

gdzie ${\ displaystyle h_ {x}}$ reprezentuje jednolite odstępy w siatce między każdym skończonym przedziałem różnicowym i ${\ displaystyle x_ {n} = x_ {0} + nh_ {x}}$ .

Dla $+$$Displaystyle$ z dokładnością jest $2p + 1 = 2 \ lewo \$ centralne współczynniki ${\ Displaystyle a_ {-p}, a_ {-p + 1}, ..., a_ {p-1}, a_ {p}$ . Są one podane przez rozwiązanie układu równań liniowych

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 i... i 1 i 1 \\ - p i -p + 1 i... i p-1 i p \\ (-p) ^ {2} i (-p + 1) ^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...& ...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p +1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+ 1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\ \0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

$gdzie$ niezerowa wartość po prawej stronie znajduje rzędzie

Dostępna jest implementacja typu open source do obliczania współczynników różnic skończonych dowolnych pochodnych i rzędu dokładności w jednym wymiarze.

Skończona różnica do przodu

Ta tabela zawiera współczynniki różnic w przód dla kilku rzędów dokładności i przy jednolitym rozstawie siatki:

Pochodna	Dokładność	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	-25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	-1849/120	29/15
	6	-801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	-1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Na przykład pierwsza pochodna z dokładnością trzeciego rzędu i druga pochodna z dokładnością drugiego rzędu są

${ \ Displaystyle \ Displaystyle f' (x_ {0}) \ w przybliżeniu \ Displaystyle {\ Frac {- {\ Frac {11} {6}} f (x_ {0}) + 3f (x_ {+1}) - {\ frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{ x}^{3}\right),}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle f'' (x_ {0}) \ około \ Displaystyle {\ Frac {2f (x_ {0}) -5f (x_ {+1}) + 4f (x_ {+ 2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\lewo(h_{x}^{2}\prawo),}$

podczas gdy odpowiednie przybliżenia wsteczne są podane przez

${\ displaystyle \ displaystyle f' (x_ {0}) \ około \ displaystyle {\ frac {{\ frac {11} {6}} f (x_ {0}) -3f (x_ {-1}) + {\ frac { 3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\lewo(h_{x} ^{3}\right),}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle f'' (x_ {0}) \ około \ Displaystyle {\ Frac {2f (x_ {0}) -5f (x_ {-1}) + 4f (x_ {-2} )-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

Wsteczna skończona różnica

Aby otrzymać współczynniki aproksymacji wstecznych od tych aproksymacyjnych przednich, należy nadać wszystkim nieparzystym pochodnym wymienionym w tabeli w poprzedniej sekcji przeciwny znak, podczas gdy dla pochodnych parzystych znaki pozostają takie same. Ilustruje to poniższa tabela:

Pochodna	Dokładność	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
	3						−1/3	3/2	−3	11/6
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

Dowolne punkty szablonu

Dla danego dowolnego szablonu punktów o długości z rzędem pochodnych współczynniki różnic skończonych $displaystyle \ displaystyle N$ uzyskać przez s ${\ displaystyle \ displaystyle$$s}$ rozwiązywanie równań liniowych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} s_ {1} ^ {0} i \ cdots & s_ {N} ^ {0} \\\ vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\ vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\ \delta _{N-1,d}\end{pmacierz}},}$

gdzie jest $deltą$$displaystyle i = j}$ równą jeden, jeśli ja i zero w przeciwnym razie

Przykład dla ${\ Displaystyle s = [-3, -2, -1,0,1]}$ , kolejność różniczkowania ${\ Displaystyle d = 4}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \\ a_ {5} \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} 1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\ \0\\24\end{pmacierz}}={\rozpocznij{pmacierz}1\\-4\\6\\-4\\1\koniec{pmacierz}}.}$

Kolejność dokładności przybliżenia przyjmuje zwykłą postać [ ${\ Displaystyle O \ lewo (h_ {x} ^ {(Nd)} \ prawej$ .

Zobacz też

• Metoda różnic skończonych
• Skończona różnica
• Szablon pięciopunktowy
• Różniczkowanie numeryczne