Tabela Papirus Matematyczny Rhinda 2/n

Papirus matematyczny Rhinda , starożytne egipskie dzieło matematyczne, zawiera tablicę matematyczną służącą do przeliczania liczb wymiernych w postaci 2/ n na ułamki egipskie (sumy różnych ułamków jednostkowych), czyli formę używaną przez Egipcjan do zapisywania liczb ułamkowych. W tekście opisano reprezentację 50 liczb wymiernych. Został napisany w Drugim Okresie Przejściowym Egiptu (około 1650–1550 p.n.e.) przez Ahmesa , pierwszy pisarz matematyki, którego nazwisko jest znane. Fragmenty dokumentu mogły zostać skopiowane z nieznanego tekstu z 1850 roku p.n.e.

Tabela

Poniższa tabela przedstawia rozszerzenia wymienione w papirusie.

Tabela 2/n z papirusu matematycznego Rhinda

2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21 = 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Ta część papirusu matematycznego Rhinda została rozłożona na dziewięciu arkuszach papirusu.

Wyjaśnienia

Każda liczba wymierna ma nieskończenie wiele różnych możliwych rozszerzeń jako suma ułamków jednostkowych, a od czasu odkrycia papirusu matematycznego Rhinda matematycy usiłują zrozumieć, w jaki sposób starożytni Egipcjanie mogli obliczyć konkretne rozwinięcia pokazane w tej tabeli.

Sugestie Gillingsa obejmowały pięć różnych technik. Zadanie 61 w Papirusie Matematycznym Rhinda podaje jedną formułę:

${\ Displaystyle {\ Frac {2} {3n}} = {\ Frac {1} {2n}} + {\ Frac$ {1} ${1} {2}} {\ Frac {1} {n}} +{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}}$ Frac (n podzielne przez 3 w tym ostatnim równaniu).

Inne możliwe formuły to:

${\ Displaystyle \, {\ Frac {2} {n}} \; = \; {\ Frac {1} {3}} {\ Frac {1} {n }} + {\ Frac {5} {3}} {\ Frac {1} {n}}}$ (n podzielne przez 5)

${\ displaystyle \! {\ frac {2}{mn}}\!={\frac {1}{m}}\!{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{n}}{\frac {1} {k}}}$ (gdzie k jest średnią m i n)

${\ Displaystyle \, {\ Frac {2} {n}} \; = \, {\ Frac {1} {n}} + {\ Frac {1} {2n }}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}}$ . Ten wzór daje rozkład dla n = 101 w tabeli.

Zasugerowano, że Ahmes przeliczył 2/ p (gdzie p było liczbą pierwszą ) dwiema metodami i trzema metodami przeliczyło złożone mianowniki 2/ pq . Inni sugerowali, że Ahmes zastosował tylko jedną metodę, która wykorzystywała czynniki multiplikatywne podobne do najmniejszych wspólnych wielokrotności .

Porównanie z innymi tekstami tabel

Starszy starożytny papirus egipski zawierał podobną tabelę frakcji egipskich; Papirus matematyczny Lahuna , napisany około 1850 roku p.n.e., pochodzi mniej więcej z wieku jednego nieznanego źródła papirusu Rhinda. Frakcje Kahuna 2/ n były identyczne z rozkładami frakcji podanymi w tabeli 2/ n Papyrusa Rhinda .

Egipski matematyczny zwój skóry (EMLR), około 1900 roku p.n.e., zawiera listę rozkładów ułamków w postaci 1/ n na inne ułamki jednostkowe. Tablica składała się z 26 szeregów ułamków jednostkowych postaci 1/ n zapisanych jako sumy innych liczb wymiernych.

Drewniana tabliczka Achmima zapisywała ułamki w postaci 1/ n w kategoriach sum liczb wymiernych hekat, 1/3, 1/7, 1/10, 1/11 i 1/13. W 1/2 tym dokumencie ^k zapisano dwuczęściowy zbiór ułamków w postaci ułamków Oka Horusa , które były ułamkami w postaci i resztami wyrażonymi w jednostce zwanej ro . Odpowiedzi sprawdzono, mnożąc początkowy dzielnik przez proponowane rozwiązanie i sprawdzając, czy otrzymana odpowiedź to 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 5 ro , co równa się 1 .