Teoria podobieństwa Monina – Obuchowa

Teoria podobieństwa Monina – Obuchowa (M – O) opisuje bezwymiarowy średni przepływ i średnią temperaturę w warstwie powierzchniowej w warunkach nieneutralnych jako funkcję bezwymiarowego parametru wysokości, nazwanego na cześć rosyjskich naukowców AS Monina i AM Obuchowa . Teoria podobieństwa to metoda empiryczna opisująca uniwersalne zależności między bezwymiarowymi zmiennymi płynów w oparciu o twierdzenie Buckinghama π . Teoria podobieństwa jest szeroko stosowana w meteorologii warstw granicznych, ponieważ relacje w procesach turbulentnych nie zawsze dają się rozwiązać na podstawie pierwszych zasad.

Wyidealizowanym pionowym profilem średniego przepływu dla neutralnej warstwy granicznej jest logarytmiczny profil wiatru wywodzący się z teorii długości mieszania Prandtla , która stwierdza, że składowa pozioma średniego przepływu jest proporcjonalna do logarytmu wysokości. Teoria podobieństwa M – O dodatkowo uogólnia teorię długości mieszania w warunkach innych niż neutralne, wykorzystując tak zwane „funkcje uniwersalne” o bezwymiarowej wysokości do charakteryzowania pionowych rozkładów średniego przepływu i temperatury. Długość Obuchowa ( ${\ displaystyle L}$ ), charakterystyczna skala długości turbulencji warstwy powierzchniowej, wyprowadzona przez Obuchowa w 1946 r., służy do bezwymiarowego skalowania rzeczywistej wysokości. Teoria podobieństwa M – O była znaczącym punktem orientacyjnym współczesnej mikrometeorologii , dostarczając teoretycznych podstaw dla eksperymentów mikrometeorologicznych i technik pomiarowych.

Długość Obuchowa

Długość Obuchowa $,$ parametrem długości warstwy powierzchniowej w warstwie granicznej który charakteryzuje względny wkład w turbulentną energię kinetyczną produkcji wyporu i produkcji ścinania. Długość Obuchowa została sformułowana przy użyciu kryterium stabilności dynamicznej Richardsona. Został wyprowadzony jako,

{\ Displaystyle L = - {\ dfrac {u_ {*} ^ {3}} {\ kappa {\ dfrac {g} {T}}} {\ dfrac {Q }{\rho c_{p}}}}}}

gdzie ${\ Displaystyle \ kappa \ około 0,40}$ $tarcia$ $c_ {} p}}$ von Kármána , , turbulentnym strumieniem ciepła i $displaystyle$ { \ pojemność cieplna. Wirtualna temperatura potencjalna jest często używana zamiast temperatury $\ displaystyle$ $\ theta _ {v}}$ aby skorygować wpływ ciśnienia i pary wodnej. ${\ displaystyle Q}$ można zapisać jako pionowy strumień wirowy,

{\ Displaystyle Q = \ rho c_ {p} {\ overline {w' \ theta _ {v} '}}}

z $pionowej$ perturbacjami prędkości i $temperatury$ Dlatego długość Obuchowa można również zdefiniować jako,

{\ Displaystyle L = - {\ dfrac {u_ {*} ^ {3}} {\ kappa {\ dfrac {g}} {\ overline {\ theta _{v}}}}{\overline {w'\theta _{v}'}}}}}

Długość Obuchowa działa również jako kryterium stabilności statycznej warstwy wierzchniej. Gdy $warstwa$ $.$ statycznie niestabilna, a gdy warstwa powierzchniowa jest $mniejszym$ wielkość wskazuje na odchylenie od stanu neutralnego statycznie, z ${\ displaystyle | L|}$ wartości odpowiadające większym odchyleniom od warunków neutralnych. kiedy $wyporu$ $|}$ jest mały i dominują w produkcji turbulentnej energii kinetycznej w porównaniu z produkcją ścinania. Z definicji w neutralnych warunkach ${\ Displaystyle L \ rightarrow \ infty}$ . Długość Obuchowa $.$ $używana$ do braku wymiarowania wysokości teorii podobieństwa

Wzory rządzące relacjami podobieństwa

Teoria podobieństwa M – O parametryzuje strumienie w warstwie powierzchniowej jako funkcję bezwymiarowego parametru długości ${\ displaystyle \ zeta = z/L}$ . Z twierdzenia Buckinghama Pi z analizy wymiarowej można utworzyć dwie bezwymiarowe grupy z podstawowego zestawu parametrów ${\ Displaystyle \ {u_ {*}, g / {\ overline {\ theta _ {v}}}, \ częściowe {\ overline {u}} / \ częściowe z, z, {\ overline {w' \theta _{v}'}}\}}$ ,

_

_

${\ Displaystyle \ zeta = {\ dfrac {z} {L}}}$

Stamtąd można określić funkcję empirycznie opisującą $.$ dwiema wielkościami bezwymiarowymi, Podobnie, $.$ średniego Profile średniego wiatru i temperatury spełniają zatem następujące zależności:

{\ Displaystyle {\ dfrac {\ częściowe {\ overline {u}}} {\ częściowe z}} = {\ dfrac {u_ {*}} {\ kappa z}} \ varphi _ {M} (\ zeta)}

{\ Displaystyle {\ dfrac {\ częściowe {\ overline {\ theta _ {v} }}}{\częściowe z}}={\dfrac {\theta _{*}}{\kappa z}}\varphi _{H}(\zeta)}

gdzie ${\ Displaystyle \ teta _ {*} = - {\ dfrac {\ overline {w' \ theta _ {v} '}} {u_ {*}}}}$ $uniwersalnymi$ jest charakterystyczną temperaturą dynamiczną, $ciepła$ są funkcjami pędu i Współczynniki dyfuzyjności wirów dla pędu i strumieni ciepła są zdefiniowane w następujący sposób:

{\ Displaystyle K_ {M} = \ kappa z {\ dfrac {u_ {*}}} {\ varphi _ { M}(\zeta )}},\ K_{H}=\kappa z{\dfrac {u_{*}}{\varphi _{H}(\zeta)}}}

${\ Displaystyle K_ {M}}$ i ${\ Displaystyle K_ {H}}$ mogą być powiązane z burzliwą liczbą Prandtla ${\ Displaystyle Pr_ {t}}$ ,

{\ Displaystyle {\ dfrac {K_ {H}} {K_ {M}}} = {\ dfrac {1} {Pr_ {t}}}> 1}

W rzeczywistości funkcje uniwersalne należy określić na podstawie danych eksperymentalnych, stosując teorię podobieństwa M – O. Chociaż wybór funkcji uniwersalnych nie jest wyjątkowy, zaproponowano pewne formy funkcyjne, które są powszechnie akceptowane w celu dopasowania danych eksperymentalnych.

Uniwersalne funkcje teorii podobieństwa Monina-Obuchowa

Funkcje uniwersalne dla teorii podobieństwa Monina-Obuchowa

Zaproponowano kilka form funkcjonalnych reprezentujących uniwersalne funkcje teorii podobieństwa. Ponieważ długość Obuchowa jest określana, gdy ${\ Displaystyle L {\ duży (} {\ dfrac {\ częściowy Ri} {\ częściowy z}} {\ duży)} _ {z = 0} = 1$ , gdzie jest liczbą Richardsona , wybrana funkcja uniwersalna musi spełniać następujący warunek, ${\ Displaystyle Ri}$

{\ Displaystyle \ varphi (0) = 1}

Przybliżeniem pierwszego rzędu uniwersalnej funkcji strumienia pędu jest:

{\ Displaystyle \ varphi _ {M} (\ zeta) = 1 + \ beta \ zeta}

gdzie ${\ Displaystyle \ beta \ około 6}$ . Jednak ma to zastosowanie tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle 0 <\ zeta <1}$ . Dla warunków, w których relacja jest następująca ${\ displaystyle \ zeta <0}$

{\ Displaystyle \ varphi _ {M} ^ {4} - \ gamma \ zeta \ varphi _ {M} ^ {3} = 1}

gdzie jest $,$ który należy określić na podstawie danych eksperymentalnych. To równanie można dalej przybliżyć przez ${\ Displaystyle \ varphi _ {M} = (1 + \ gamma \ zeta) ^ {- 1/4}}$ kiedy ${\ Displaystyle -2 <\ zeta <0}$ .

Na podstawie wyników eksperymentu z Kansas z 1968 r. wyznaczono następujące funkcje uniwersalne dla średniego poziomego przepływu i średniej wirtualnej temperatury potencjalnej:

{\ Displaystyle \ varphi _ {M} (\ zeta) = (1-15 \ zeta) ^ {- 1/4} \ quad -2 <\ zeta <0}

{\ Displaystyle \ varphi _ {M} (\ zeta) = 1 + 4,7 \ zeta \ quad 0 <\ zeta <1 }

{\ Displaystyle \ varphi _ {H} (\ zeta) = 0,74 (1-9 \ zeta) ^ {- 1/2} \ quad - 2 <\ zeta <0}

{\ Displaystyle \ varphi _ {H} (\ zeta) = 0,74 + 4,7 \ zeta \ quad 0 <\ zeta <1}

Stosowane są również $inne metody$ $\ displaystyle Ri} .$ które określają funkcje uniwersalne przy użyciu relacji między i ja

W przypadku podwarstw o znacznej chropowatości, np. powierzchni porośniętych roślinnością lub obszarów miejskich, funkcje uniwersalne muszą zostać zmodyfikowane w celu uwzględnienia skutków chropowatości powierzchni.

Walidacje

Potwierdzeniu teorii podobieństwa M – O poświęcono niezliczone wysiłki eksperymentalne. Obserwacje terenowe i symulacje komputerowe ogólnie wykazały, że teoria podobieństwa M – O jest dobrze spełniona.

W pomiarach terenowych

Do eksperymentu potrzebne jest pole pszenicy w Kansas, płaski teren

Eksperyment z Kansas z 1968 roku wykazał dużą zgodność między pomiarami i przewidywaniami na podstawie relacji podobieństwa dla całego zakresu wartości stabilności. Miejscem eksperymentu było płaskie pole pszenicy w Kansas, gdzie wiatry mierzono za pomocą anemometrów zamontowanych na różnych wysokościach na 32-metrowej wieży. W podobny sposób zmierzono również profil temperaturowy. Wyniki badań terenowych w Kansas wykazały, że stosunek dyfuzyjności wirów ciepła i pędu wynosił około 1,35 w warunkach neutralnych. Podobny eksperyment przeprowadzono na płaskim polu w północno-zachodniej Minnesocie w 1973 roku. W tym eksperymencie wykorzystano obserwacje warstwy powierzchniowej zarówno naziemnej, jak i balonowej, a następnie zweryfikowano teoretyczne przewidywania na podstawie podobieństwa.

W symulacjach dużych wirów

Oprócz eksperymentów terenowych analizę teorii podobieństwa M – O można przeprowadzić za pomocą symulacji dużych wirów o wysokiej rozdzielczości . Symulacja wskazuje, że pole temperatury dobrze zgadza się z podobieństwem M – O. Jednak pole prędkości wykazuje znaczne anomalie wynikające z podobieństwa M – O.

Ograniczenia

Teoria podobieństwa M – O, choć skuteczna w przypadku warstw powierzchniowych z walidacji eksperymentalnych, jest zasadniczo diagnostyczną teorią empiryczną opartą na lokalnym zamknięciu turbulencji pierwszego rzędu. Zazwyczaj 10% ~ 20% błędów jest związanych z funkcjami uniwersalnymi. W przypadku zastosowania na terenach porośniętych roślinnością lub złożonych terenach może powodować duże rozbieżności. Ponieważ funkcje uniwersalne są często określane w warunkach suchych, możliwość zastosowania teorii podobieństwa M – O w warunkach wilgotnych nie została dobrze zbadana.

Podstawowy zestaw parametrów teorii podobieństwa M – $O$ . Argumentuje się $, że przy takim zestawie parametrów skalowanie jest stosowane do integralnych cech przepływu, podczas$ gdy specyficzna dla wirów zależność podobieństwa preferuje wykorzystanie szybkości rozpraszania energii Ten schemat jest w stanie wyjaśnić anomalie teorii podobieństwa M – O, ale obejmuje nielokalność w modelowaniu i eksperymentach.

Zobacz też

^ ^a ^b ^c Monin, AS; Obuchow, AM (1954). „Podstawowe prawa turbulentnego mieszania w powierzchniowej warstwie atmosfery”. Tr. Akad. Nauka. SSSR Geophiz. Inst . 24 (151): 163–187.
^ Stull, Roland (1988). Wprowadzenie do meteorologii warstwy granicznej . Holandia: Springer. ISBN 978-94-009-3027-8 .
^ Prandtl, Ludwig (1925). „Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz”. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 5 (2): 136–139. Bibcode : 1925ZaMM....5..136P . doi : 10.1002/zamm.19250050212 .
^ ^abc ^{Obuchow , AM}⁽ 1971). „Turbulencje w atmosferze o niejednorodnej temperaturze”. Meteorologia warstwy granicznej . 2 (1): 7–29. Bibcode : 1971BoLMe...2....7O . doi : 10.1007/BF00718085 . S2CID 121123105 .
^ ^abc ^{Foken , T.}⁽ 2006). „50 lat teorii podobieństwa Monina-Obuchowa”. Meteorologia warstwy granicznej . 2 (3): 7–29. Bibcode : 2006BoLMe.119..431F . doi : 10.1007/s10546-006-9048-6 . S2CID 122060208 .
^ ^a ^b Foken, Thomas (2008). Mikrometeorologia . Springer-Verlag. s. 42 –49. ISBN 978-3-540-74665-2 .
^ ^a ^b Businger, JA ; JC Wyngaard; Y. Izumi; EF Bradley (1971). „Zależności strumienia od profilu w warstwie powierzchniowej atmosfery” . Journal of Atmospheric Sciences . 28 (2): 181–189. Bibcode : 1971JAtS...28..181B . doi : 10.1175/1520-0469(1971)028<0181:FPRITA>2.0.CO;2 .
^ Arya, SP (2001). Wprowadzenie do mikrometeorologii . San Diego: prasa akademicka.
^ Högström, U. (1988). „Bezwymiarowe profile wiatru i temperatury w warstwie powierzchniowej atmosfery: ponowna ocena”. Meteorologia warstwy granicznej . 42 (1–2): 55–78. Bibcode : 1988BoLMe..42...55H . doi : 10.1007/BF00119875 . S2CID 117742460 .
Bibliografia _ JC Wyngaard; DA Haugen; LUB Cote; Y. Izumi; SJ Caughey; Odczyty CJ (1976). „Struktura turbulencji w konwekcyjnej warstwie granicznej” . Journal of Atmospheric Sciences . 33 (11): 2152–2169. Bibcode : 1976JAtS...33.2152K . doi : 10.1175/1520-0469(1976)033<2152:TSITCB>2.0.CO;2 .
Bibliografia _ Brasseur, James G. (1997). „Analiza podobieństwa Monina – Obuchowa na podstawie symulacji dużych wirów”. J. Płyn Mech . 345 (1): 251–286. Bibcode : 1997JFM...345..251K . doi : 10.1017/S0022112097006277 . S2CID 122546650 .
^ McNaughton, Keith (2009). „Powstanie i upadek teorii Monina-Obuchowa” (PDF) . Biuletyn AsiaFlux (30): 1–4.

[mo54-1] Monin, AS; Obuchow, AM (1954). „Podstawowe prawa turbulentnego mieszania w powierzchniowej warstwie atmosfery”. Tr. Akad. Nauka. SSSR Geophiz. Inst . 24 (151): 163–187.

[s88-2] Stull, Roland (1988). Wprowadzenie do meteorologii warstwy granicznej . Holandia: Springer. ISBN 978-94-009-3027-8 .

[p25-3] Prandtl, Ludwig (1925). „Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz”. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 5 (2): 136–139. Bibcode : 1925ZaMM....5..136P . doi : 10.1002/zamm.19250050212 .

[o71-4] {Obuchow , AM}⁽ 1971). „Turbulencje w atmosferze o niejednorodnej temperaturze”. Meteorologia warstwy granicznej . 2 (1): 7–29. Bibcode : 1971BoLMe...2....7O . doi : 10.1007/BF00718085 . S2CID 121123105 .

[f06-5] {Foken , T.}⁽ 2006). „50 lat teorii podobieństwa Monina-Obuchowa”. Meteorologia warstwy granicznej . 2 (3): 7–29. Bibcode : 2006BoLMe.119..431F . doi : 10.1007/s10546-006-9048-6 . S2CID 122060208 .

[f08-6] Foken, Thomas (2008). Mikrometeorologia . Springer-Verlag. s. 42 –49. ISBN 978-3-540-74665-2 .

[b71-7] Businger, JA ; JC Wyngaard; Y. Izumi; EF Bradley (1971). „Zależności strumienia od profilu w warstwie powierzchniowej atmosfery” . Journal of Atmospheric Sciences . 28 (2): 181–189. Bibcode : 1971JAtS...28..181B . doi : 10.1175/1520-0469(1971)028<0181:FPRITA>2.0.CO;2 .

[a01-8] Arya, SP (2001). Wprowadzenie do mikrometeorologii . San Diego: prasa akademicka.

[h88-9] Högström, U. (1988). „Bezwymiarowe profile wiatru i temperatury w warstwie powierzchniowej atmosfery: ponowna ocena”. Meteorologia warstwy granicznej . 42 (1–2): 55–78. Bibcode : 1988BoLMe..42...55H . doi : 10.1007/BF00119875 . S2CID 117742460 .

[k76-10] Bibliografia _ JC Wyngaard; DA Haugen; LUB Cote; Y. Izumi; SJ Caughey; Odczyty CJ (1976). „Struktura turbulencji w konwekcyjnej warstwie granicznej” . Journal of Atmospheric Sciences . 33 (11): 2152–2169. Bibcode : 1976JAtS...33.2152K . doi : 10.1175/1520-0469(1976)033<2152:TSITCB>2.0.CO;2 .

[les_mo-11] Bibliografia _ Brasseur, James G. (1997). „Analiza podobieństwa Monina – Obuchowa na podstawie symulacji dużych wirów”. J. Płyn Mech . 345 (1): 251–286. Bibcode : 1997JFM...345..251K . doi : 10.1017/S0022112097006277 . S2CID 122546650 .

[m09-12] McNaughton, Keith (2009). „Powstanie i upadek teorii Monina-Obuchowa” (PDF) . Biuletyn AsiaFlux (30): 1–4.