Tożsamość Bineta-Cauchy'ego

W algebrze tożsamość Bineta – Cauchy'ego , nazwana na cześć Jacquesa Philippe'a Marie Bineta i Augustina-Louisa Cauchy'ego , stwierdza, że

$$Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ { i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i }d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+\sum _{1\leq i<j\leq n}( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$$

dla każdego wyboru liczb rzeczywistych lub zespolonych (lub bardziej ogólnie elementów pierścienia przemiennego ). Ustawiając a _ja = c _ja i b _j = d _j , daje tożsamość Lagrange'a , która jest silniejszą wersją nierówności Cauchy'ego – Schwarza dla przestrzeni euklidesowej ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Tożsamość Bineta-Cauchy'ego jest szczególnym przypadkiem wzoru Cauchy'ego-Bineta dla wyznaczników macierzowych.

Tożsamość Bineta-Cauchy'ego i algebra zewnętrzna

Gdy n = 3 , pierwszy i drugi wyraz po prawej stronie stają się kwadratami wielkości odpowiednio iloczynu kropkowego i krzyżowego ; w n wymiarach stają się one wielkościami iloczynów kropek i klinów . Możemy to napisać

$${\ Displaystyle (a \ cdot c) (b \ cdot d) = ( a\cdot d)(b\cdot c)+(a\klin b)\cdot (c\klin d)}$$

gdzie a , b , c i d są wektorami. Można to również zapisać jako wzór dający iloczyn skalarny dwóch iloczynów klinowych, as

$${\ Displaystyle (a \ klin b) \ cdot (c \ klin re )=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,,}$$

co można zapisać jako

$$b) \ cdot (c \ razy d) =(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}$$

w przypadku n = 3 .

W szczególnym przypadku a = c i b = d formuła daje wynik

$${\ Displaystyle | a \ klin b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | a \ cdot b | ^ {2}.}$$

Kiedy zarówno a , jak i b są wektorami jednostkowymi, otrzymujemy zwykłą zależność

$${\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ fi = 1 - \ sałata ^ {2} \ fi}$$

gdzie φ jest kątem między wektorami.

Jest to szczególny przypadek iloczynu wewnętrznego na zewnętrznej algebrze przestrzeni wektorowej, który jest zdefiniowany na elementach rozkładających się klinowo jako wyznacznik Grama ich składników.

Notacja Einsteina

Istnieje związek między symbolami Levi – Cevity a uogólnioną deltą Kroneckera

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k!}} \ varepsilon ^ {\ lambda _ {1} \ cdots \ lambda _ {k} \ mu _ {k + 1} \ cdots \ mu _ {n}} \ varepsilon _{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{k+1}\cdots \ nu _{n}}^{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\,.}$$

( ${\ Displaystyle (a \ klin b) \ cdot (c \ klin$ postać tożsamości Bineta-Cauchy'ego można zapisać jako

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(n-2)!}} \ lewo (\ varepsilon ^ {\ mu _ {1} \ cdots \ mu _ {n-2} \ alfa \ beta} ~ a_ {\ alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta }~c^{\gamma }~d^{ \delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }^{\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\ ,.}$$

Dowód

Rozszerzając ostatnią kadencję,

$$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ suma _ {1 \ równoważnik i <j \ równoważnik n} (a_ {i} b_ {j} -a_ { j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\={}&{}\suma _{1\równoważnik i<j\równoważnik n}(a_ {i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\suma _{i=1}^{n}a_{i} c_{i}b_{i}d_{i}-\suma _{1\równoważnik i<j\równoważnik n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_ {j}b_{i}c_{i})-\suma_{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\end{wyrównane}}}$$

gdzie drugi i czwarty wyraz są takie same i sztucznie dodane w celu uzupełnienia sum w następujący sposób:

$${\ Displaystyle = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} - \ suma _ {i =1}^{n}\suma _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}$$

To kończy dowód po odrzuceniu terminów indeksowanych przez i .

Uogólnienie

Ogólna postać, znana również jako wzór Cauchy'ego-Bineta , brzmi następująco: Załóżmy, że A jest macierzą m × n , a B jest macierzą n × m . Jeśli S jest podzbiorem {1, ..., m _{n } z m elementami, piszemy AS} dla macierzy m × , której kolumnami są te kolumny A , które mają indeksy z S . Podobnie piszemy B _S dla macierzy m × m , której wierszami są te wiersze B , które mają indeksy z S . Wtedy wyznacznik iloczynu macierzowego A i B spełnia tożsamość

$${\ Displaystyle \ det (AB) = \ suma _ {S \ podzbiór \ {1, \ ldots, n \} \ na szczycie | S | = m} \ det ( A_{S})\det(B_{S}),}$$

gdzie suma rozciąga się na wszystkie możliwe podzbiory S z {1, ..., n } z m elementami.

Otrzymujemy oryginalną tożsamość jako przypadek specjalny przez ustawienie

$${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} a_ {1} i \ kropki & a_ {n} \\ b_ {1} i \ kropki & b_ {n} \ koniec {pmatrix}}, \ quad B = {\ rozpocząć { pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.}$$

Notatki

• Aitken, Alexander Craig (1944), Wyznaczniki i macierze , Oliver i Boyd
• Harville, David A. (2008), Matrix Algebra z perspektywy statystyka , Springer