Formuła Cauchy'ego-Bineta

W matematyce , w szczególności w algebrze liniowej , wzór Cauchy'ego -Bineta , nazwany na cześć Augustina-Louisa Cauchy'ego i Jacquesa Philippe'a Marie Bineta , jest tożsamością wyznacznika iloczynu dwóch prostokątnych macierzy transponowanych kształtów (tak, że produkt jest dobrze zdefiniowany i kwadrat ). Uogólnia stwierdzenie, że wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi ich wyznaczników. Formuła obowiązuje dla macierzy z wpisami z dowolnego pierścienia przemiennego .

Oświadczenie

Niech A będzie macierzą m × n , a B macierzą n × m . Napisz [ n ] dla zbioru {1, ..., n } i ${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]} {m}}}$ dla zbioru m - kombinacje [ n ] ] (tj. podzbiory [ n ] o rozmiarze m ; jest ich ${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {m}}} ).$ Dla ${\ Displaystyle S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}}$ napisz A _{[ m ], S} dla macierzy m × m , której kolumny są kolumnami A w indeksy z S i B _{S , [ m ]} dla macierzy m × m , której wiersze są wierszami B w indeksach z S . Formuła Cauchy'ego – Bineta następnie stwierdza

${\ Displaystyle \ det (AB) = \ suma _ {S \ w {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det (A_ {[m], S}) \ det (B_ {S, [m ]}).}$

Przykład: biorąc m = 2 i n = 3 oraz macierze ${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 i 2 \\ 3 i 1 i -1 \\\ koniec {pmatrix}}}$ i ${\ Displaystyle B = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 \\ 3 i 1 \\ 0 i 2 \ koniec {pmatrix}}} ,$ wzór Cauchy'ego – Bineta daje wyznacznik

${\ Displaystyle \ det (AB) = \ lewo | {\ początek {macierz} 1 i 1 \\ 3 i 1 \ koniec {macierz}} \ prawo | \ cdot \ lewo | {\ początek {macierz} 1 i 1 \\ 3 i 1 \ koniec {macierz }}\right|+\left|{\begin{macierz}1&2\\1&-1\end{macierz}}\right|\cdot \left|{\begin{macierz}3&1\\0&2\end{macierz} }\right|+\left|{\begin{macierz}1&2\\3&-1\end{macierz}}\right|\cdot \left|{\begin{macierz}1&1\\0&2\end{macierz}} \prawo|.}$

Rzeczywiście ${\ Displaystyle AB = {\ rozpocząć {pmatrix} 4 i 6 \\ 6 i 2 \ koniec {pmatrix}}}$ , a jego wyznacznik to ${\ Displaystyle -28}$ , co równa się ${\ Displaystyle -2 \ razy -2 + -3 \ razy 6 + -7 \ razy 2}$ z prawej strony wzoru.

Przypadki specjalne

Jeśli n < m to ${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]} {m}}}$ jest zbiorem pustym, a wzór mówi, że det ( AB ) = 0 (jego prawa strona to pusta suma ); rzeczywiście w tym przypadku rząd macierzy m × m AB wynosi co najwyżej n , co implikuje, że jej wyznacznik wynosi zero . Jeśli n = m , przypadek, w którym A i B są macierzami kwadratowymi, ${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]} {m}} = \ {[n] \} }$ ( zbiór singletonowy ), więc suma obejmuje tylko S = [ n ], a wzór stwierdza, że ​​det( AB ) = det( A )det( B ).

Dla m = 0, A i B są pustymi macierzami (ale o różnych kształtach, jeśli n > 0), podobnie jak ich iloczyn AB ; sumowanie obejmuje pojedynczy składnik S = Ø, a wzór stwierdza 1 = 1, przy czym obie strony są określone przez wyznacznik macierzy 0 × 0. Dla m = 1 sumowanie obejmuje zbiór n różnych singletonów wziętych z [ n ] i obu stron wzoru ${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]}} {1}}}$ dać iloczyn skalarny ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {j = 1} ^ {n} A_ {1, j} B_ {j, 1$ } } para wektorów reprezentowana przez macierze. Najmniejsza wartość m , dla której wzór stwierdza nietrywialną równość, to m = 2; jest to omówione w artykule na temat tożsamości Bineta – Cauchy'ego .

W przypadku n = 3

Niech ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {a}}, {\ boldsymbol {b}}, {\ boldsymbol {c}}, {\ boldsymbol {d}} ,{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}},{\boldsymbol {w}}} będą wektorami trójwymiarowymi$ .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i 1 = 1 i (m = 0) \\ [10 pt] i {\ pogrubiony symbol {a}} \ cdot {\ pogrubiony symbol {x}} = a_ {1} x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot { \boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\ cdot {\boldsymbol {y}}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{ vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\ b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix }a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\ end{vmatrix}}\\[4pt]={}&({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y} })&(m=2)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol { y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\ boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\ \b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1 }\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&[{\boldsymbol {a }}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})][{\boldsymbol {x}}\cdot ({\boldsymbol {y}}\times {\boldsymbol {z}} )]&(m=3)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol { y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\ boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {b}}\cdot { \boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\ cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {d} }\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {w}}\end{vmatrix}} =0&(m=4)\end{wyrównane}}}$

W przypadku m > 3 prawa strona jest zawsze równa 0.

Prosty dowód

Poniższy prosty dowód opiera się na dwóch faktach, które można udowodnić na kilka różnych sposobów:

1. 1 $\ równoważnik n}$$} + X)}$$\$ det ( $\ det ( zI_$$X$ jest sumą głównych nieletnich $X}$ .
2. Jeśli ${\ Displaystyle m \ równoważnik n}$ i jest $i$ jest ${\ Displaystyle m \ razy n}$ B $\ Displaystyle B}$ an ${\ Displaystyle n \ razy m}$ zatem macierz

${\ Displaystyle \ det (zI_ {n} + BA) = z ^ {nm} \ det (zI_ {m} + AB)}$ .

${nm}\det(zI_{m}+AB)}$ jeśli porównamy współczynnik $w$ równaniu $)$ ^ lewa strona da sumę głównych nieletnich z ${\ displaystyle BA}$ prawa strona da stały wyraz ${\ Displaystyle \ det (zI_ {m} + AB)}$ , który jest po prostu ${\ Displaystyle \ det (AB)}$ , co określa wzór Cauchy'ego-Bineta, tj

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ det (AB) = \ suma _ {S \ w {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det ((BA) _ {S, S}) = \sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(B_{S,[m]})\det(A_{[m],S})\\[5pt]= {}&\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).\end {wyrównany}}}$

Dowód

Istnieją różne rodzaje dowodów, które można podać dla wzoru Cauchy'ego-Bineta. Poniższy dowód opiera się wyłącznie na manipulacjach formalnych i unika stosowania jakiejkolwiek szczególnej interpretacji wyznaczników, które można uznać za określone wzorem Leibniza . Wykorzystywana jest tylko ich wieloliniowość w odniesieniu do wierszy i kolumn oraz ich właściwość naprzemienna (znikająca w obecności równych wierszy lub kolumn); w szczególności multiplikatywna właściwość wyznaczników dla macierzy kwadratowych nie jest używana, ale jest raczej ustalona (przypadek n = m ). Dowód jest ważny dla dowolnych pierścieni przemiennych współczynników.

Formułę można udowodnić w dwóch krokach:

1. wykorzystaj fakt, że obie strony są wieloliniowe (dokładniej 2 m -liniowe) w wierszach A i kolumnach B , aby sprowadzić do przypadku, że każdy wiersz A i każda kolumna B ma tylko jeden wpis niezerowy, czyli 1.
2. obsłuż ten przypadek za pomocą funkcji [ m ] → [ n ], które odpowiednio odwzorowują numery wierszy A na numer kolumny ich niezerowego wpisu, a numery kolumn B na numer wiersza ich niezerowego wpisu.

W kroku 1 zauważ, że dla każdego wiersza A lub kolumny B i dla każdej m -kombinacji S wartości det( AB ) i det( A _{[ m ], S} )det( BS _{, [ m ]} ) rzeczywiście zależą liniowo od wiersza lub kolumny. W przypadku tego ostatniego wynika to bezpośrednio z wieloliniowej właściwości wyznacznika; w przypadku pierwszego należy dodatkowo sprawdzić, czy przyjęcie kombinacji liniowej dla wiersza A lub kolumny B przy pozostawieniu reszty bez zmian wpływa tylko na odpowiedni wiersz lub kolumnę iloczynu AB i przez tę samą kombinację liniową. W ten sposób można wypracować obie strony wzoru Cauchy'ego-Bineta za pomocą liniowości dla każdego wiersza A , a następnie także dla każdej kolumny B , zapisując każdy z wierszy i kolumn jako liniową kombinację standardowych wektorów bazowych. Wynikowe wielokrotne sumowania są ogromne, ale mają tę samą postać dla obu stron: odpowiednie terminy obejmują ten sam współczynnik skalarny (każdy jest iloczynem wpisów A i B ), a terminy te różnią się tylko tym, że zawierają dwa różne wyrażenia w terminach macierzy stałych typu opisanego powyżej, których wyrażenia powinny być równe według wzoru Cauchy'ego-Bineta. Osiąga to redukcję pierwszego kroku.

Konkretnie, wielokrotne sumowania można pogrupować w dwa podsumowania, jedno dla wszystkich funkcji f : [ m ] → [ n ], które dla każdego indeksu wiersza A daje odpowiedni indeks kolumny, i jedno dla wszystkich funkcji g : [ m ] → [ n ], że dla każdego indeksu kolumny B daje odpowiedni indeks wiersza. Macierze związane z f i g to

${\ Displaystyle L_ {f} = {\ bigl (} (\ delta _ {f (i), j}) _ {i \ in [m], j \ in [n]} {\ bigr)} \ quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\ większy )}}$

gdzie „ jest $deltą Kroneckera$ a wzór Cauchy'ego-Bineta do udowodnienia został przepisany jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane}&\suma _{f:[m]\do [n]}\suma _{g:[m]\do [n]}p(f,g)\det(L_{f}R_{g })\\[5pt]={}&\suma _{f:[m]\do [n]}\suma _{g:[m]\do [n]}p(f,g)\suma _ {S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m ]}),\end{wyrównane}}}$

gdzie p ( fa , g ) oznacza współczynnik skalarny ${\ Displaystyle \ textstyle (\ prod _ {i =1}^{m}A_{i,f(i)})(\prod _{k=1}^{m}B_{g(k),k})}$ . Pozostaje udowodnić wzór Cauchy'ego-Bineta dla A = L _f i B = R _g , dla wszystkich f , g : [ m ] → [ n ].

W tym kroku 2, jeśli f nie jest iniekcyjne, to Lf i LfRg mają dwa identyczne wiersze, a jeśli _{g nie} jest iniekcyjne _, to _Rg i _LfRg mają dwie identyczne kolumny _; w obu przypadkach obie strony tożsamości są zerowe. Zakładając teraz, że zarówno f , jak i g są mapami iniekcyjnymi [ m ] → [ n ], czynnik ${\ Displaystyle \ det ((L_ {f}) _ {[m], S})}$ po prawej stronie wynosi zero, chyba że S = fa ([ m ]), podczas gdy czynnik ${\ Displaystyle \ det ((R_ {g}) _ {S, [m]})}$ jest równe zeru, chyba że S = g ([ m ]). Więc jeśli obrazy f i g są różne, prawa strona ma tylko wyrazy zerowe, a lewa strona również jest zerowa, ponieważ L _f R _g ma wiersz zerowy (dla i z ${\ Displaystyle f (i) \ notin g ([m])}$ ). W pozostałym przypadku, gdy obrazy f i g są takie same, powiedzmy f ([ m ]) = S = g ([ m ]), musimy udowodnić, że

${\ Displaystyle \ det (L_ {f} R_ {g}) = \ det ((L_ {f}) _ {[m], S}) \ det ((R_ {g}) _ {S, [m] }).\,}$

Niech h $[$ unikalnym rosnącym bijekcją ${\ Displaystyle g = h \ circ \ sigma}$ → , a π , σ permutacjami [ ] takimi że ; wtedy ${\ Displaystyle (L_ {f}) _ {[m], S}}$ jest macierzą permutacji dla π , ${\ Displaystyle (R_ {{ g}) _ {S, [m]}}$ jest macierzą permutacji dla σ , a L _fa R _g jest macierzą permutacji dla ${\ Displaystyle \ pi \ circ \ sigma}$ , a ponieważ wyznacznik permutacji macierz jest równa sygnaturze permutacji, tożsamość wynika z faktu, że sygnatury są multiplikatywne.

Stosowanie wieloliniowości w odniesieniu zarówno do wierszy A , jak i kolumn B w dowodzie nie jest konieczne; można użyć tylko jednego z nich, powiedzmy pierwszego, i użyć tego, że iloczyn macierzowy L _f B albo składa się z permutacji wierszy B _{f ([ m ]), [ m ]} (jeśli f jest iniekcją), albo ma co najmniej dwa równe rzędy.

Związek z uogólnioną deltą Kroneckera

Jak widzieliśmy, wzór Cauchy'ego-Bineta jest równoważny następującemu:

${\ Displaystyle \ det (L_ { f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det(( R_{g})_{S,[m]}),}$

Gdzie

${\ Displaystyle L_ {f} = {\ bigl (} (\ delta _ {f (i), j}) _ {i \ in [m], j \ in [n]} {\ bigr)} \ quad { \text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.}$

Pod względem uogólnionej delty Kroneckera możemy wyprowadzić wzór równoważny ze wzorem Cauchy'ego – Bineta:

${\ Displaystyle \ delta _ {g (1) \ kropki g (m)} ^ {f (1) \ kropki f (m)} = \ suma _ {k: [m] \ do [n] \ na szczycie k ( 1)<\kropki <k(m)}\delta _{k(1)\kropki k(m)}^{f(1)\kropki f(m)}\delta _{g(1)\kropki g (m)}^{k(1)\kropki k(m)}.}$

Interpretacje geometryczne

  Jeśli A jest rzeczywistą macierzą m × n , to det( A A ^T ) jest równe kwadratowi m -wymiarowej objętości równoległoboku rozpiętego w R ⁿ przez m wierszy A . Wzór Bineta stwierdza, że ​​​​jest to równe sumie kwadratów objętości, które powstają, gdy równoległościan jest rzutowany ortogonalnie na m - wymiarowe płaszczyzny współrzędnych (z których są ${\ Displaystyle {\ tbinom {n} m}}}$ ).

W przypadku m = 1 równoległobok jest zredukowany do pojedynczego wektora, a jego objętość jest jego długością. Powyższe stwierdzenie stwierdza następnie, że kwadrat długości wektora jest sumą kwadratów jego współrzędnych; tak jest rzeczywiście w przypadku definicji tej długości, która jest oparta na twierdzeniu Pitagorasa .

W algebrze tensorowej , biorąc pod uwagę $algebrze$ przestrzeń iloczynu $n$ , wzór Cauchy'ego -Bineta definiuje indukowany iloczyn wewnętrzny na zewnętrznej a mianowicie

${\ Displaystyle \ langle v_ {1} \ klin \ cdots \ klin v_ {m}, w_ {1} \ klin \ cdots \ klin w_ {m} \ rangle = \ det \ lewo (\ langle v_ {i}, w_ {j}\rangle \right)_{i,j=1}^{m}.}$

Uogólnienie

Formułę Cauchy'ego-Bineta można w prosty sposób rozszerzyć do ogólnego wzoru na nieletnie iloczynu dwóch macierzy. Kontekst wzoru podano w artykule o nieletnich , ale chodzi o to, że zarówno wzór na zwykłe mnożenie macierzy , jak i wzór Cauchy'ego-Bineta na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy są przypadkami szczególnymi następującego ogólnego stwierdzenia o nieletnich iloczynu dwóch macierzy. Załóżmy, że A jest macierzą m × n , B jest macierzą n × p , I jest podzbiorem {1,..., m } z k elementami, a J jest podzbiorem {1,..., p } z k elementami. Następnie

${\ Displaystyle [\ mathbf {AB}] _ {I, J} = \ suma _ {K} [\ mathbf {A } ]_{I,K}[\mathbf {B}]_{K,J}\,}$

gdzie suma rozciąga się na wszystkie podzbiory K z {1,..., n } z k elementami.

Wersja ciągła

Ciągła wersja wzoru Cauchy'ego-Bineta, znana jako tożsamość Andréiefa-Heinego lub tożsamość Andréiefa , pojawia się powszechnie w teorii macierzy losowych. Stwierdza się to następująco: niech ${\ Displaystyle \ lewo \ {f_ {j} (x) \ prawo \} _ {j = 1} ^ {N}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo \ {g_ {j} (x) \ prawo \} _ {j = 1} ^ {N}} być$ dwiema sekwencjami funkcji całkowalnych, obsługiwanych na ${\ styl wyświetlania I}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {I} \ cdots \ int _ {I} \ det \ lewo [f_ {j} (x_ {k}) \ prawo] _ {j, k = 1} ^ {N} \ det \ left[g_{j}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}dx_{1}\cdots dx_{n}=N!\,\det \left[\int _ {I}f_{j}(x)g_{k}(x)dx\right]_{j,k=1}^{N}.}$

Forrester opisuje, jak odzyskać zwykłą formułę Cauchy'ego-Bineta jako dyskretyzację powyższej tożsamości.

•   Joel G. Broida i S. Gill Williamson (1989) Kompleksowe wprowadzenie do algebry liniowej , §4.6 Twierdzenie Cauchy'ego-Bineta, s. 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5 .
•   Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) Linear Algebra , wydanie 2, Przykład 2.15 Formuła Bineta-Cauchy'ego, s. 66,7, Birkhäuser ISBN 0-8176-4294-3 .
•   IR Shafarevich & AO Remizov (2012) Linear Algebra and Geometry , §2.9 (s. 68) i §10.5 (s. 377), Springer ISBN 978-3-642-30993-9 .
•   ML Mehta (2004) Losowe macierze , wyd. 3, Elsevier ISBN 9780120884094 .

Linki zewnętrzne

• Aaron Lauve (2004) Krótki kombinatoryczny dowód formuły Cauchy'ego – Bineta zarchiwizowany 2019-03-04 w Wayback Machine z Université du Québec à Montréal .
• Peter J. Forrester (2018) Meet Andréief, Bordeaux 1886 i Andreev, Charków 1882–83