Transformacja Gabora

Transformata Gabora , nazwana na cześć Dennisa Gabora , jest szczególnym przypadkiem krótkotrwałej transformaty Fouriera . Służy do określania częstotliwości sinusoidalnej i zawartości fazy w lokalnych sekcjach sygnału, gdy zmienia się on w czasie. Funkcja, która ma zostać przekształcona, jest najpierw mnożona przez funkcję Gaussa , którą można traktować jako funkcję okna , a następnie wynikową funkcję przekształca się za pomocą transformaty Fouriera w celu uzyskania analizy czasowo-częstotliwościowej . Funkcja okna oznacza, że sygnał w pobliżu analizowanego czasu będzie miał większą wagę. Transformata Gabora sygnału x ( t ) jest określona wzorem:

{\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) = \ int _ {-\infty}^{\infty}x(t)e^{-\pi (t-\tau)^{2}}e^{-j\omega t}\,dt}

Wielkość funkcji Gaussa.

Funkcja Gaussa ma nieskończony zakres i jest niepraktyczna w implementacji. Można jednak wybrać poziom istotności (na przykład 0,00001) dla rozkładu funkcji Gaussa.

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} e ^ {- {\ pi} a ^ {2}} \ geq 0,00001; & \ lewo | a \ prawo | \ równoważnik 1,9143 \\ e ^ {- {\ pi} a^{2}}<0,00001;&\left|a\right|>1,9143\end{przypadki}}}

Poza tymi granicami $było$ ( ) Gaussa jest wystarczająco mała, aby można Zatem transformatę Gabora można w zadowalający sposób przybliżyć jako

{\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) =\int _{-1,9143+\tau }^{1,9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\, dt}

To uproszczenie sprawia, że transformacja Gabor jest praktyczna i możliwa do zrealizowania.

$. }}$ określonej aplikacji, z ${\ Displaystyle {- {\ pi} \ alfa (t- \ tau) ^ {2}}}$ $dla$ niektórych .

Odwrotna transformata Gabora

Transformata Gabora jest odwracalna. Ponieważ jest on przepełniony, oryginalny sygnał można odzyskać na różne sposoby. $przykład$ okien można zastosować

{\ Displaystyle x (t) = e ^ {\ pi (t- \ tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi}}\int _{-\infty}^{\infty}G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }

Alternatywnie, wszystkie składniki czasu można połączyć razem:

{\ Displaystyle x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty }{\frac {1}{2\pi}}\int _{-\infty}^{\infty}G_{x}(\tau,\omega)e^{j\omega t}\,d\ omega \,d\tau }

Własności transformaty Gabora

Transformata Gabora ma wiele właściwości podobnych do transformaty Fouriera. Te właściwości są wymienione w poniższych tabelach.

	Sygnał	Transformacja Gabora	Uwagi
	${\ Displaystyle x (t) \,}$	${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) = \ int _ {-\infty}^{\infty}x(t)e^{-\pi (t-\tau)^{2}}e^{-j\omega t}\,dt}$
1	${\ Displaystyle a \ cdot x (t) + b \ cdot y (t) \,}$	${\ Displaystyle a \ cdot G_ {x} (\ tau, \ omega) + b \ cdot G_ {y} (\ tau, \ omega )\,}$	Właściwość liniowości
2	${\ Displaystyle x (tt_ {0}) \,}$	${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau -t_ {0}, \ omega) e ^ {- j \ omega t_ {0}} \,}$	Przenoszenie własności
3	$omega _ {0} t} \,}$	${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega - \ omega _ {0}) \,}$	Właściwość modulacji

		Uwagi
1	${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lewo \| G_ {x} (\ tau, \ omega) \ prawo \| ^ {2} \,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2} }dt\około \int _{\tau -1,9143}^{\tau +1,9143}\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2 }}dt}$	Właściwość całkowania mocy
2	$\ Displaystyle \ int _ { -\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau,\omega)G_{y}^{}(\tau,\omega)\, d\omega \,d\tau =\int _{-\infty}^{\infty}x(t)y^{}(t)\,d\tau}$	Właściwość sumy energii
3	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lewo \| G_ {x} (\tau ,\omega )\right\|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right\|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty}\left\|G_{x}(\tau,\omega)\right\|^{2} \,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty}\left\|G_{x}(\tau, \omega _{0})\right\|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega)=FT[x(t)]=0{\text{ for }} \omega >\omega _{0}\end{przypadki}}}$	Właściwość rozpadu mocy
4	$\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_ {x} (\ tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi \tau ^{2}}x(0)}$	Właściwość odzyskiwania

Zastosowanie i przykład

Rozkład czasu/częstotliwości.

Głównym zastosowaniem transformaty Gabora jest analiza czasowo-częstotliwościowa . Weźmy jako przykład następującą funkcję. Sygnał wejściowy ma składową częstotliwościową 1 Hz, gdy t ≤ 0 i ma składową częstotliwościową 2 Hz, gdy t > 0

{\ Displaystyle x (t) = {\ rozpocząć {przypadki} \ sałata (2 \ pi t )&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{przypadki}}}

Ale jeśli całkowita dostępna szerokość pasma wynosi 5 Hz, inne pasma częstotliwości oprócz x ( t ) są marnowane. Dzięki analizie czasowo-częstotliwościowej z zastosowaniem transformacji Gabora można poznać dostępne pasmo i wykorzystać te pasma częstotliwości do innych zastosowań, oszczędzając pasmo. Rysunek po prawej stronie pokazuje sygnał wejściowy x ( t ) i wyjście transformaty Gabora. Zgodnie z naszymi oczekiwaniami rozkład częstotliwości można podzielić na dwie części. Jeden to t ≤ 0, a drugi to t > 0. Biała część to pasmo częstotliwości zajmowane przez x ( t ), a czarna część nie jest używana. Należy zauważyć, że dla każdego punktu w czasie istnieje składowa częstotliwości zarówno ujemna (górna biała część), jak i dodatnia (dolna biała część).

Dyskretna transformacja Gabora

Dyskretna wersja reprezentacji Gabora

{\ Displaystyle y (t) = \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \sum _{n=-\infty}^{\infty}C_{nm}\cdot g_{nm}(t)}

z sol $\ Displaystyle g_ {nm} (t) = s (tm \ tau _ {0}) \ cdot e ^ {j \ Omega nt}}$

można łatwo wyprowadzić, dyskretyzując funkcję podstawy Gabora w tych równaniach. W ten sposób ciągły parametr t jest zastępowany przez dyskretny czas k . Ponadto należy wziąć pod uwagę skończoną granicę sumowania w reprezentacji Gabora. W ten sposób próbkowany sygnał y ( k ) jest dzielony na M ramek czasowych o długości N. Zgodnie z $współczynnik$ Ω dla krytycznego próbkowania wynosi $={\tfrac {2\pi} {N}}}$ $\$ .

Podobnie jak w przypadku DFT (dyskretnej transformacji Fouriera) uzyskuje się dziedzinę częstotliwości podzieloną na N dyskretnych podziałów. Odwrotna transformacja tych N partycji widmowych prowadzi następnie do N wartości y ( k ) dla okna czasowego, które składa się z N wartości próbek. Dla ogólnych M okien czasowych z N wartościami próbek, każdy sygnał y ( k ) zawiera M wartości próbek: (dyskretna reprezentacja Gabora) K = N ${\ displaystyle \ cdot }$

{\ Displaystyle y (k) = \ suma _ {m = 0} ^ {M-1} \ suma _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)}

z sol $k) = s (k-mN) \ cdot e ^ {j \ Omega nk}}$

$powyższym$ równaniem , współczynniki M liczbie próbek $K$ sygnału

Dla nadpróbkowania jest ustawione na $Displaystyle$ $\ Omega \ leq {\ tfrac {2 \ pi} {N}} = {\ tfrac {2$ gdzie N ′ > N , co daje N ′ > N współczynników sumowania w drugiej sumie dyskretnej reprezentacji Gabora. W tym przypadku liczba uzyskanych współczynników Gabora wynosiłaby M ${\ displaystyle \ cdot}$ N ′ > K . W związku z tym dostępnych jest więcej współczynników niż wartości próbek, a zatem uzyskano by nadmiarową reprezentację.

Skalowana transformata Gabora

Podobnie jak w przypadku krótkiej transformaty Fouriera, rozdzielczość w dziedzinie czasu i częstotliwości można regulować, wybierając inną szerokość funkcji okna. W przypadkach transformacji Gabora, dodając wariancję , zgodnie z następującym równaniem: ${\ displaystyle \ sigma}$

Skalowane (znormalizowane) okno Gaussa oznacza:

{\ Displaystyle W _ {\ tekst {gaussowski}} (t) = e ^ {- \ sigma \ pi t ^ {2}}}

Tak więc transformatę Scaled Gabora można zapisać jako:

{\ Displaystyle G_ {x} (t, f) = {\ sqrt [{4}] {\ sigma}} \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Displaystyle e ^ {- \ sigma \ pi (\ tau -t) ^ {2}} e ^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad }

Przy dużej funkcji okna będzie wąska, co spowoduje wyższą rozdzielczość w dziedzinie czasu, ale niższą rozdzielczość w dziedzinie częstotliwości. ${\ displaystyle \ sigma}$ Podobnie, małe doprowadzi do szerokiego okna z wyższą rozdzielczością w dziedzinie częstotliwości, ale niższą rozdzielczością w dziedzinie $czasu$

Czasowo-przyczynowy odpowiednik transformaty Gabora

Podczas przetwarzania sygnałów czasowych nie można uzyskać dostępu do danych z przyszłości, co prowadzi do problemów przy próbie wykorzystania funkcji Gabora do przetwarzania sygnałów w czasie rzeczywistym. Czasowo-przyczynowy analog filtra Gabora został opracowany w oparciu o zastąpienie jądra Gaussa w funkcji Gabora jądrem czasowo-przyczynowym i czasowo-rekurencyjnym, określanym jako jądro czasowo-przyczynowe. W ten sposób analiza czasowo-częstotliwościowa oparta na wynikowym rozszerzeniu jądra granicy czasowo-przyczynowej o wartościach zespolonych umożliwia uchwycenie zasadniczo podobnych transformacji sygnału czasowego, jak może to zrobić funkcja Gabora i odpowiadająca grupie Heisenberga, zob. dalsze szczegóły.

Zobacz też

D. Gabor, Teoria komunikacji, część 1, J. Inst. elekta. inż. Część III, Radio i łączność, tom 93, s. 429 1946 ( http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf )
Jian-Jiun Ding, Notatka klasowa Analiza częstotliwości czasu i transformacja falkowa, Wydział Elektrotechniki, National Taiwan University, Taipei, Tajwan, 2007.