Częstotliwość ujemna

Wektor obracający się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (cos t , sin t ) ma dodatnią częstotliwość +1 radiana na jednostkę czasu . Nie pokazano wektora obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (cos − t , sin − t ) , który ma ujemną częstotliwość -1 radiana na jednostkę czasu. Obie okrążają okrąg jednostkowy co 2 π , ale w przeciwnych kierunkach. jednostki czasu

W matematyce częstotliwość ze znakiem ( częstotliwość ujemna i dodatnia ) rozszerza pojęcie częstotliwości , od wartości bezwzględnej reprezentującej częstotliwość występowania pewnych powtarzających się zdarzeń, do znaku dodatniego lub ujemnego reprezentującego jedną z dwóch przeciwstawnych orientacji występowania tych zdarzeń . Poniższe przykłady pomogą zilustrować tę koncepcję:

• W przypadku obracającego się obiektu wartość bezwzględna jego częstotliwości obrotu wskazuje, ile obrotów obiekt wykonuje w jednostce czasu , podczas gdy znak może wskazywać, czy obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara .
  • Matematycznie rzecz biorąc, wektor ma dodatnią częstotliwość +1 radiana ${\ Displaystyle (\ cos (t), \ sin (t))}$ na jednostkę czasu i obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół okręgu jednostkowego , podczas gdy wektor ma ${\ Displaystyle (\ cos (-t), \ sin (-t))}$ ujemna częstotliwość -1 radiana na jednostkę czasu, która zamiast tego obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
• W przypadku oscylatora harmonicznego , takiego jak wahadło , wartość bezwzględna jego częstotliwości wskazuje, ile razy oscyluje on tam iz powrotem w jednostce czasu, podczas gdy znak może wskazywać, w którym z dwóch przeciwnych kierunków zaczął się poruszać.
• W przypadku funkcji okresowej reprezentowanej w kartezjańskim układzie współrzędnych wartość bezwzględna jej częstotliwości wskazuje, jak często w swojej dziedzinie powtarza ona swoje wartości, podczas gdy zmiana znaku jej częstotliwości może reprezentować odbicie wokół jej osi y .

Sinusoidy

Niech będzie nieujemną $częstotliwością$$kątową$ z jednostkami radianów na czasu i niech będzie fazą radianach. Funkcja ${\ Displaystyle \ theta (t) = - \ omega t + \ varphi}$ ma nachylenie ${\ Displaystyle - \ omega.}$ Gdy jest używany jako argument sinusoidy , ${\ Displaystyle - \ omega}$ może reprezentować częstotliwość ujemną .

Ponieważ cosinus jest funkcją parzystą , sinusoida o ujemnej częstotliwości ${\ Displaystyle \ cos (\ omega t - \ varphi).}$ do odróżnienia od sinusoidy o częstotliwości dodatniej $}$

$Podobnie$ , ponieważ sinus jest funkcją nieparzystą , ${\ Displaystyle {\ tekst {-}} \ sin (\ omega t - \ varphi)}$ ujemnej częstotliwości od sinusoidy lub ${\ Displaystyle \ sin (\ omega t - \ varphi + \ pi).}$

Zatem każdą sinusoidę można przedstawić tylko w kategoriach częstotliwości dodatnich.

Częstotliwość ujemna powoduje, że funkcja sin (fioletowa) wyprzedza cos (czerwony) o 1/4 cyklu.

Znak podstawowego nachylenia fazy jest niejednoznaczny. Ponieważ ${\ Displaystyle \ cos (\ omega t + \ varphi)}$ prowadzi ${\ Displaystyle \ sin (\ omega t + \ varphi)}$ przez ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ pi }{2}}}$ radianów (lub 1/4 i sinus cyklu) dla częstotliwości dodatnich i opóźnień o tę samą wartość dla częstotliwości ujemnych, niejednoznaczność co do nachylenia fazy można rozwiązać po prostu obserwując jednocześnie operator cosinus i widząc, który prowadzi do drugiego.

Znak jest również zachowany w funkcji o wartościach zespolonych : ${\ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t} = \ underbrace {\ cos (\ omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},}$

 

 

 

 

(Równanie 1)

ponieważ ${\ Displaystyle R (t)}$$można$ i porównywać Powszechną interpretacją jest to, że $.$ funkcją niż którykolwiek z jej składników, ponieważ upraszcza multiplikatywne obliczenia trygonometryczne formalnego opisu jako analitycznej reprezentacji cos ${\ Displaystyle \ cos (\ omega t)}$ .

Suma reprezentacji analitycznej z jej złożonym koniugatem wyodrębnia rzeczywistą funkcję o wartościach rzeczywistych, którą reprezentują. Na przykład:

${\ Displaystyle \ cos (\ omega t) = {\ rozpocząć {macierz} {\ Frac {1} {2}} \ end{macierz}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right),}$

 

 

 

 

(Równanie 2)

co prowadzi do nieco mylącej interpretacji, że $zawiera$ dodatnią jak Ale „suma” obejmuje anulowanie wszystkich urojonych składników ${\ Displaystyle ({\ tfrac {1} {2}} ja \ sin (\ omega t) - {\ tfrac {1} {2}} ja \ sin (\ omega t)}$ } To anulowanie powoduje jedynie dwuznaczność co do znaku częstotliwości. Użycie dowolnego znaku zapewnia równoważną reprezentację tej samej fali cosinusoidalnej.

$.$ wskazuje obie częstotliwości, jedna z dwóch częstotliwości jest fałszywie dodatnią lub aliasem drugiej, ponieważ może mieć tylko jeden znak Na przykład transformata Fouriera po $sałata$ koreluje ${\ Displaystyle \ cos (\ omega t) + ja \ sin (\ omega t)}$ jak ${\ Displaystyle \ cos (\ omega t) -i \ sin (\ omega t).}$ Niemniej jednak traktowanie prawdziwej sinusoidy jako kombinacji częstotliwości dodatniej i ujemnej jest czasami przydatne (i poprawne matematycznie).

Aplikacje

Uproszczenie transformaty Fouriera

Być może najbardziej znanym zastosowaniem częstotliwości ujemnej jest wzór:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f(t)e^{-i\omega t}dt,}$

która jest miarą energii w funkcji przy częstotliwości ${\ displaystyle \ omega.}$${\ Displaystyle f (t)}$$Po ocenie$ argumentu wynik nazywa się transformacją Fouriera .

Weźmy na przykład funkcję:

${\ Displaystyle f (t) = A_ {1} e ^ { i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega_{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0, \ \omega _{2}>0.}$

I:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kapelusz {f}} (\ omega) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [A_ {1} e ^ {i \ omega _ { 1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_ {1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty}^{\infty}A_{2}e^{i\omega _{ 2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega ) t}dt+\int _{-\infty}^{\infty}A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega)t}dt\end{wyrównane}}}$

Zauważ, że chociaż większość funkcji nie obejmuje sinusoid o nieskończonym czasie trwania, ta idealizacja jest powszechnym uproszczeniem, które ułatwia zrozumienie.

Patrząc na pierwszy wyraz tego wyniku, kiedy ujemna częstotliwość $Displaystyle - \ omega _ {1}}$$\$ anuluje częstotliwość dodatnią ω $}$ stały współczynnik $A_$ ponieważ ) , który powoduje, że całka nieskończona wynosi odchodzić. Przy innych wartościach ${\ displaystyle \ omega}$ oscylacje resztkowe powodują, że całka zbiega się do zera. Ta wyidealizowana transformata Fouriera jest zwykle zapisywana jako:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} (\ omega) = 2 \ pi A_ {1} \ delta (\ omega - \ omega _ {1}) + 2 \ pi A_ {2} \ delta (\ omega - \ omega _{2}).}$

W przypadku realistycznych czasów trwania rozbieżności i zbieżności są mniej ekstremalne, a mniejsze niezerowe zbieżności ( wyciek widmowy ) pojawiają się na wielu innych częstotliwościach, ale nadal obowiązuje koncepcja częstotliwości ujemnej. Oryginalne sformułowanie Fouriera ( przekształcenie sinusoidalne i przekształcenie kosinusowe ) wymaga całki dla cosinusa i innej dla sinusa. A wynikowe wyrażenia trygonometryczne są często mniej zrozumiałe niż złożone wyrażenia wykładnicze. (patrz Sygnał analityczny , wzór Eulera § Związek z trygonometrią i Phasor )

Próbkowanie częstotliwości dodatnich i ujemnych oraz aliasing

Główny artykuł: Aliasing § Złożone sinusoidy

Ta figura przedstawia dwie złożone sinusoidy, w kolorze złotym i cyjanowym, które pasują do tych samych zestawów rzeczywistych i urojonych punktów próbkowania. Są one zatem aliasami siebie nawzajem, gdy są próbkowane z szybkością ( f _s ) wskazywaną przez linie siatki. Funkcja w kolorze złotym przedstawia częstotliwość dodatnią, ponieważ jej część rzeczywista (funkcja cos) wyprzedza swoją część urojoną o 1/4 jednego cyklu. Funkcja cyjan przedstawia częstotliwość ujemną, ponieważ jej część rzeczywista pozostaje w tyle za częścią urojoną.

Zobacz też

• Kąt#Znak

Dalsza lektura

• Częstotliwości dodatnie i ujemne
•   Lyons, Richard G. (11 listopada 2010). Rozdział 8.4. Zrozumienie cyfrowego przetwarzania sygnału (wyd. 3). Sala Prentice'a. 944 str. ISBN 0137027419 .
• Lyons, Richard G. (listopad 2001). „Zrozumienie domeny częstotliwości cyfrowego przetwarzania sygnału” . magazyn RF Design . Źródło 29 grudnia 2022 r . {{ cite web }} : CS1 maint: stan adresu URL ( link )