atom Gabora

W matematyce stosowanej atomy Gabora lub funkcje Gabora są funkcjami stosowanymi w analizie zaproponowanej przez Dennisa Gabora w 1946 r. , w której rodzina funkcji jest zbudowana z translacji i modulacji funkcji generującej.

Przegląd

W 1946 roku Dennis Gabor zasugerował pomysł wykorzystania systemu granularnego do wytwarzania dźwięku . W swojej pracy Gabor omówił problemy z analizą Fouriera . Chociaż uznał matematykę za poprawną, nie odzwierciedlała ona zachowania się dźwięku na świecie, ponieważ dźwięki, takie jak dźwięk syreny, mają zmienną w czasie częstotliwość. Innym problemem było leżące u podstaw przypuszczenie, ponieważ używamy analizy fal sinusoidalnych, że rozpatrywany sygnał ma nieskończony czas trwania, mimo że dźwięki w prawdziwym życiu mają ograniczony czas trwania – patrz analiza czasowo-częstotliwościowa . Gabor zastosował idee fizyki kwantowej do dźwięku, pozwalając na analogię między dźwiękiem a kwantami. Zaproponował matematyczną metodę redukcji analizy Fouriera do komórek. Jego badania ukierunkowane były na transmisję informacji kanałami komunikacyjnymi. Gabor widział w swoich atomach możliwość przesyłania tych samych informacji, ale przy użyciu mniejszej ilości danych. Zamiast transmitować sam sygnał, możliwe byłoby przesyłanie tylko współczynników reprezentujących ten sam sygnał za pomocą jego atomów.

Definicja matematyczna

Funkcja Gabora jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle g _ {\ ell, n} (x) = g (xa \ ell )e^{2\pi ibnx},\quad -\infty <\ell ,n<\infty ,}

gdzie a i b są stałymi, a g jest ustaloną funkcją w L ² ( R ) taką, że || g || = 1. W zależności od $R$ $i$ może być podstawą dla L 2 ( ) , ^który jest zdefiniowany $przez$ translacje . Jest to podobne do systemu falkowego, który może stanowić podstawę poprzez rozszerzanie i translację falki macierzystej.

Kiedy ktoś bierze

{\ Displaystyle g (t) = A \ cdot e ^ {- \ pi t ^ {2}} = A \ cdot \exp(-\pi t^{2})}

jeden otrzymuje transformatę Gabora .

Zobacz też

Dalsza lektura

Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Analiza i algorytmy Gabora”, Birkäuser, 1998; ISBN 0-8176-3959-4
Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Postępy w analizie Gabora”, Birkäuser, 2003; ISBN 0-8176-4239-0
Karlheinz Gröchenig: „Podstawy analizy czasowo-częstotliwościowej”, Birkäuser, 2001; ISBN 0-8176-4022-3

Linki zewnętrzne

Strona domowa NuHAG [Grupa Numerycznej Analizy Harmonicznej]